Matematika za lesarje-UNI

• 71030742 20 neg
• 71050708 5 neg
• 71000185 17 neg
• 71050881 20 neg
• 71050716 5 neg
• 71050461 21 neg
• 71040116 25 neg
• 71040134 10 neg
• 71050803 40 6-
• 71030825 40 6-
• 71020668 11 neg
• 71050352 0 neg

• 71030825 3 5 10 5 15 38
• 71050461 17 3 5 5 5 35
• 71050803 5 6 15 4 0 30
• 71050716 8 5 0 5 0 18
• 71050708 3 5 3 5 0 16
• 71040116 3 3 0 4 0 10
• 71050921 3 2 0 0 3 8
• 71040134 3 0 5 0 4 12
• 71050345 10 3 0 0 0 13

• predavatelj: Cimprič Jaka,
• asistent: Martin Raič,
• demonstrator: ime ne bo objavljeno.

• Predavanja: študent mora opraviti teoretični del izpita (= ustni izpit), (pogoj za pristop k izpitu je pozitivna ocena iz vaj). Na voljo so primeri izpitnih vprašanj.
• Vaje: študent mora opraviti bodisi računski del izpita (= pisni izpit) bodisi zbrati vsaj polovico točk iz kolokvijev (štirje kolokviji, vsak prinese 20%) in domačih nalog (deset domačih nalog, vsaka prinese 2%). Gradiva lahko dobite na asistentovi spletni strani.

1. (10. 10. 2005) Prvo uro sem razložil osnovne pojme verjetnostnega računa: poskus, izid, dogodek. Drugo in tretjo uro smo se ukvarjali z računanjem z dogodki: vsota dveh in več dogodkov (posebej za združljive in nezdružljive dogodke), produkt dveh dogodkov (posebej za odvisne in neidvisne dogodke). Na koncu sem povedal primer treh dogodkov, ki paroma neodvisni, vendar niso neodvisni. Literatura:
   • Cedilnik Anton : Uvod v verjetnostni račun, (ISBN 961-235-121-X)
   • Peter J. Cameron : Notes on probability , e-učbenik.
2. (17. 10. 2005) Prvi dve uri sem delal zaporedja poskusov:
   • dvofazni poskusi : popolna verjetnost+Bayes
   • zaporedja neodvisnih poskusov : Bernoullijevo in geometrijsko zaporedje
   • zaporedja odvisnih poskusov : "Birthday paradox"=če imas skupino s 23 ljudmi, potem je >50% verjetnost, da sta vsaj dva rojena na isti dan v letu.
   Tretjo uro sem delal matematično upanje in varianco: razložil sem stvar eksperimantalno (povprecje meritev) in teoretično (z verjetnostno shemo). Za vajo smo naredili upanje enakomerne in Bernoullijeve porazdelitve. Pri varianci nisem delal primerov. Literatura: kot zgoraj.
3. (24. 10. 2005) Delal sem vektorje v R^n
   • linearne kombinacije (tudi delitev daljice v danem razmerju in geometrijsko metodo za določanje težišča večih točk)
   • linearne ogrinjace (omenil sem, da so vektorski podprostori, in da je vsak vektorski podprostor take oblike)
   • linearno neodvisnost (dve definiciji)
   • Gaussova eliminacija za linearne sisteme in njena uporaba pri ugotavljanju linearne neodvisnosti
   • baze (omenil sem, da so baze natanko linearno neodvisne množice z n elementi, nisem pa povsem dokazal)
   Literatura:
   • Keith Matthews, Elementary linear algebra , e-učbenik,
   • Tomaž Košir, Linearna algebra , e-učbenik.
4. (7. 11. 2005) Delal sem:
   • skalarni produkt, razvoj po ortogonalni bazi
   • metodo najmanjših kvadratov za reševanje predoločenih sistemov. (levo stran zapišeš kot linarno kombinacijo stolpčnih vektorjev, nato predoločen sistem skalarno pomnožiš z vsemi stolpčnimi vektorji in rešiš dobljeni sistem, dobiš rešitev po metodi najmanjših kvadratov).
   • Uporabo metode najmanjših kvadratov pri iskanju najbolje prilegajočih se premic, parabol, ravnin. Omenil sem tudi Lagrangeov interpolacijski polinom.
   • vektorski produkt.
   Literatura: kot zgoraj.
5. (14. 11. 2005) Prvo uro sem delal premice v ravnini in prostoru: načini podajanja premic, naloge s točko in premico (projekcija, zrcaljenje, oddaljenost), naloge z dvema premicama (oddaljenost). Drugo uro sem delal ravnine v prostoru: načini podajanja ravnin, naloge s točko in ravnino (projekcija, zrcaljenje, oddaljenost), naloge s premico in ravnino (projekcija, zrcaljenje), naloge z dvema ravninama (presek). Tretjo uro sem delal operacije z matrikami: vsota matrik, množenje matrike s skalarjem, množenje dveh matrik. Literatura: kot zgoraj.
6. (21. 11. 2005) Končal sem z množenjem dveh matrik. Povedal sem, kako sistem linearnih enačb zapišemo v matrični obliki. Povedal sem, kako s pomočjo Gaussove eliminacije poiščemo levi inverz matrike kadar ta obstaja. Pri kvadratnih matrikah je levi inverz tudi desni, pri nekvadratnih pa ne. Povedal sem tudi kako s pomočjo levega inverza rešujemo kvadratne sisteme in opozoril na težave pri uporabi te metode na nekvadratnih sistemih. Definiral sem transponiranje matrike in povedal kako formuliramo metodo najmanjših kvadratov v matrični obliki. Tretjo uro sem definiral determinanto kvadratne matrike z razvojem po prvi vrstici. Povedal sem, da determinanto lahko izračunamo z razvojem po katerikoli vrstici ali stolpcu. Izpeljal sem formuli za determinanto 2x2 in 3x3 matrike. Uporaba determinante pri računanju ploščin paralelogramov in volumnov paralelepipedov. Literatura: kot zgoraj.
7. (28. 11. 2005) Prvo uro sem jemal lastnosti determinante pri elementarnih vrstičnih transformacijah in računanje determinant z Gaussovo eliminacijo. Drugo uro sem vzel Cramerovo pravilo za resevanje linearnih 2x2 in 3x3 sistemov, ter formulo za računanje inverza 2x2 in 3x3 matrik. Zadnjo uro sem začel z realnimi števili: osnovne računske operacije, primerjanje po velikosti, razlika med identitetami in enačbami ter neenakostmi in neenačbami.
8. (5. 12. 2005) Prvo uro sem delal Dedekindovo lastnost in njene posledice. Drugo uro sem povedal, kako podamo zaporedje (eksplicitno, rekurzivno) in kako ga narišemo (graf, slika). Definiral sem pojem limite zaporedja ter razložil njegov pomen na grafu in sliki zaporedja. Tretjo uro sem omenil nekaj metod za računanje limit (graf+definicija, limita vsote/produkta je vsota/produkt limit, limite racionalnih funkcij, metoda sedndviča, limite monotonih omejenih zaporedij). Literatura : Del prvega in drugo poglavje moje skripte (za tekstilce).
9. (12. 12. 2005) Zračunal sem vsoto geometrijske vrste in vrste \sum 1/n(n+1). Dokazal sem potrebni pogoj za konvergenco vrste (\lim a_n =0) in pokazal da ni zadosten (protiprimer je harmonična vrsta). Omenil sem zadostni pogoj za konvergenco (absolutna konvergenca) in povedal sem, da ni potreben (protiprimer je vrsta \sum (-1)^n/n). Nato sem omenil tri kriterije za ugotavljanje konvergence vrst s pozitivnimi členi: primerjalni, kvocientni in korenski. Primerjalnega sem dokazal in uporabil na primeru \sum 1/n^2, kvocientnega sem uporabil na več primerih, korenskega sem samo formuliral. Zadnjo uro sem definiral eksponentno funkcijo s pomočjo vrste. Dokaz adicijskega izreka sem samo ustno skiciral, ostale lastnosti pa sem potem korektno izpeljal. Literatura : Tretje in del četrtega poglavja moje skripte.
10. (19. 12. 2005) Funkcija iz R v R je podana z definicijskim območjem in predpisom. Povedal sem, kaj je graf funkcije in kaj zaloga vrednosti. Definiral sem pojem skrčitve in pojasnil, kaj pomeni na grafu. Nato sem povedal kako s funkcijami računamo. S primerom sem pokazal, da kompozitum ni komutativen. Definiral sem identično funkcijo in pojasnil zvezo z kompozitumom. Drugo uro sem definiral pojem injektivne funkcije in njenega inverza. Lihe potence, ter funkciji exp in sh so primeri injektivnih funkcij, sode potence, ch ter trigonometrijske funkcije pa niso. V primeru, ko funkcija ni injektivna lahko včasih njen graf razrežemo na manjše kose, ki pa so injektivni. Takim kosom pravimo veje. Povedal sem, kaj so glavne veje gornjih funkcij in kaj so njihovi inverzi. Zadnjo uro sem definiral zveznost funkcije v točki s pomočjo zaporedij. Pokazal sem, da so konstantne funkcije zvezne in da je identiteta zvezna. Pokazal sem tudi, da se zveznost ohranja pri osnovnih operacijah s funkcijami. Odtod sledi, da so racionalne funkcije zvezne.
11. (9. 1. 2006) Prvo uro sem povedal, kaj so elementarne funkcije in kako je z njihovo zveznostjo. Nato sem povedal, kako iščemo ničle zveznih funkcij z bisekcijo. Drugo uro sem razlagal, da je zvezna funkcija, katere definicijsko območje je zaprt interval, vedno omejena in v neki točki zavzame globalni maksimum, v neki drugi točki pa zavzame globalni minimum. Vsaka vrednost med maksimalno in minimalno je zavzeta v neki točki. Nato sem definiral limito na dva načina, z zveznostjo in z zaporedji. Tretjo uro sem povedal kako računamo limite, omenil sem metodo vstavljanja, metodo krajšanja, metodo razširjanja, metodo sendviča. Na koncu sem povedal, kako izračunamo limito vsote, razlike, produkta, kvocienta. Pri limiti kompozituma nastopi nekaj težav, zato rabimo dodatne predpostavke. Metodi za računanje limite kompozituma pravimo tudi metoda substitucije.
12. (13. 2. 2006) Prvo uro sem definiral diferenčni kvocient in odvod. Izpeljal sem enačbo sekante in enačbo tangente ter povedal, kako definiramo povprečno in trenutno hitrost. Nato sem izračunal nekaj osnovnih odvodov, recimo za eksponentno funkcijo in sinus. Drugo uro smo delali pravila za odvajanje, s poudarkom na odvajanju posredne in inverzne funkcije (odvod logaritma sem prihranil za vaje). Tretjo uro, sem ponovil definicijo in lastnosti globalnih ekstremov. Nato sem definiral lokalne ekstreme in izpeljal potrebni pogoj za lokalni ekstrem (=Fermatov izrek): notranje točke v katerih je dosežen lokalni ekstrem so kritične točke. Poleg kritičnih točk so kandidati za lokalni ekstrem še robne točke in točke kjer funkcija ni odvedljiva. Vsak kandidat še ni nujno lokalni ekstrem. Kot primer sem določil kandidate za lokalni ekstrem ter globalne ekstreme funkcije 2x^2-x^4 na [-2,2].
13. (20. 2. 2006) Prvo uro sem dokazal Rolleov in Lagrangeov izrek. Kot posledico sem izpeljal zvezo med predznakom odvoda in monotonostjo funkcije. Drugo uro sem povedal, kako konstruiramo graf funkcije s pomočjo prvega odvoda in izpeljal zadostni pogoj za nastop prvega odvoda s pomočjo prvega odvoda. Tretjo uro sem izpeljal L'Hospitalovo pravilo s pomočjo Cauchyjevega izreka. Kot posledico dobimo, da je limita drugega diferenčnega količnika enaka drugemu odvodu. Odtod sledi, da je limita drugega interpolacijskega polinoma ( to je polinom skozi (a,f(a)), (a+h, f(a+h)), (a+2h,f(a+2h)) ) enaka drugemu Taylorjevemu polinomu. Podobo velja za višje interpolacijske in Taylorjeve polinome.
14. (27. 2. 2006) Prvi dve uri sem delal Taylorjev izrek (za n=2) in njegove posledice: zveza med drugim odvodom in konveksnostjo, zadostni pogoj za lokalni ekstrem, enakomerno pospešeno gibanje. Omenil sem tudi razvoj v Taylorjevo vrsto (sin x sem razvil okrog 0 in pi/2), vendar brez dokaza. Na koncu sem omenil, da se da Taylorjevo vrsto uporabiti za računanje limit, vendar sem primere prihranil za vaje. Tretjo uro sem začel z nedoločenim integralom: definicija, enoličnost, eksistenca, izračunljivost.
15. (6. 3. 2006) Tabelica osnovnih nedoločenih integralov. Linearnost. Uvedba nove spremenljivke. Integracija po delih. Razep racionalne funkcije na parcialne ulomke. Integriranje parcialnih ulomkov.
16. (13. 3. 2006) Prva ura: Nedoločeni integrali, ki se prevedejo na integrale racionalnih funkcij (Splošna trigonometrijska substitucija, Eulerjevi substituciji). Druga ura: definicija in obstoj določenega integrala. Tretja ura: osnovne lastnosti določenih integralov. Izrek o srednji vrednosti in osnovni izrek infinitezimalnega računa.
17. (20. 3. 2006) Newton-Leibnitzova formula. Uvedba nove spremenljivke in integracija po delih v določenem integralu. Uporaba določenega integrala: ploščine in težišča ravninskih likov, volumni vrtenin, prvo Pappusovo pravilo, dolžine in težišča krivulja, površine vrtenin, drugo Pappusovo pravilo.
18. (27. 3. 2006) Predavanja odpadejo.
19. (3. 4. 2006) Prva ura : Vektorji v n-razsežnem prostoru, linearne kombinacije, linearna neodvisnost, skalarni in vektorski produkt. Druga ura : Premice in ravnine v trirazsežnem prostoru. Tretja ura : Vektorske funkcije in njihovi tiri. Zveznost vektorskih funkcij. Odvod vektorske funkcije ter njegov pomen v geometriji (tangenta na tir) in fiziki (vektorska hitrost).
20. (10. 4. 2006) Prva ura: Dolžina tira, ploščina znotraj sklenjenega tira. Druga ura : Upognjenost tira. Tretja ura : Funkcije dveh spremenljivk. Graf in nivojski diagram.
21. (24. 4. 2006) Prva ura : Zveznost funkcij dveh spremenljivk. Zveznost obeh projekcij. Zveznost pri osnovnih računskih operacijah. Zveznost kompozituma. Zaprte omejene množice. Obstoj globalnega ekstrema. Druga ura : Parcialni odvod. Tangentna ravnina. Pravilo za posredno odvajanje. Tretja ura : Potrebni pogoj za lokalni ekstrem. Taylorjeva vrsta. Zadostni pogoj za lokalni ekstrem.
22. (8. 5. 2006) Prva ura : Funkcije iz R^m v R^n; grafi, nivojnice in slike. Druga ura : Eksplicitno, implicitno in parametrično podajanje (ravninskih in prostorskih) krivulj in ploskev. Izrek o implicitni funkciji. Tretja ura : Vezani ekstremi; direktna metoda in metoda Lagrangeovih multiplikatorjev.
23. (15. 5. 2006) Diferencialne enačbe prvega reda. Polje tangent (= smernic) in geometrijski pomen diferencialnih enačb. Eulerjeva metoda za numerično rečevanje diferencialnih enačb. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami, zakon naravne rasti in logistična krivulja.
24. (22. 5. 2006) Linearne diferencialne enačbe drugega reda. Homogena enačba s konstantnimi koeficienti. Homogena Eulerjeva enačba. Iskanje druge rečitve s pomočjo determinante Wronskega. Reševanje nehomogene enačbe z metodo nedoločenih keficientov. Nihanje. Literatura : Miran Černe, Matematika 2.
25. (31. 5. 2006) Laplaceova transformacija. Nekaj znanih Laplaceovih transformirank. Računanje inverznih Laplaceovih transformirank s pomočjo razcepa na parcialne ulomke. Uporaba Laplaceove transformacije pri reševanju linearnih diferencialnih enačb.