Definirali smo pojem semilinearne in bazične semilinearne množice v Rn. Vsaka semilinearna množica je končna unija bazičnih semilinearnih množic oblike {P1=0,...,Pk=0,Q1>0,...,Ql>0}. Semilinearne množice v R1=R ravno končne unije točk, intervalov in poltrakov.
S pomočjo Fourier-Motzkinove eliminacije smo dokazali, da je projekcija bazične semilinearne množice (iz Rn+1 v Rn vzdolž xn+1) spet bazična semilinerana množica. Odtod sledi, da je projekcija semilinarne množice spet semilinearna množica. Na primeru {(A,B,X) | A+BX=0} smo se prepričali, da projekcija bazične semialgebraične množice ni nujno bazična semialgebraična množica. Na koncu smo formulirali izrek Tarskega, ki pravi, da je projekcija semialgebraične množice spet semialgebraična množica.
Definirali smo pojem formule prvega reda in formule brez kvantifikatorjev (v jeziku urejenih obsegov s parametri v R). Pokazali smo, da so semialgebraične množice ravno množice, ki so definirane s formulami brez kvantifikatorjev. Iz izreka Tarskega sledi, da so tudi množice, ki so definirane s formulami prvega reda, semialgebraične. Torej je vsaka formula prvega reda ekvivalentna formuli brez kvantifikatorjev. Kot primer uporabe smo pokazali, da sta zaprtje in notranjost semialgebraične množice spet semialgebraični množici in da je kompozitum semialgebraičnih funkcij spet semialgebraična funkcija. (Semialgebraična funkcija je funkcija med dvema semialgebraičnima množicama, katere graf je semialgebraična množica.) Omenili smo tudi semilinearne verzije teh rezultatov.
O zaptjih semilinearnih množic lahko povemo še več. Dokazali smo, da je zaprtje neprazne bazične semilinearne množice {P1 ≥ 0,...,Pk ≥ 0,Q1>0,...,Ql>0} enako {P1 ≥ 0,...,Pk ≥ 0,Q1≥0,...,Ql≥0}, notranjost pa je enaka {P1 > 0,...,Pk > 0,Q1>0,...,Ql>0}. (Odtod takoj sledi semilinearna verzija izreka o končnosti. Spotoma smo dokazali semilinearno verzijo leme o izbiri krivulje.) Podoben rezultat za semialgebraične množice ne velja, saj zaprtje množice {(X,Y) | Y 2 < X3-X2} ni enako {(X,Y) | Y 2 ≤ X3-X2}.
Formulirali smo izrek o cilindrični algebraični dekompoziciji in ga ilustrirali na primeru. Spotoma smo spoznali, kako cilindrični algebraični dekompoziciji priredimo tabele predznakov. Pokazali smo tudi, da iz tega izreka sledi izrek Tarskega. Nato smo se lotili dokaza:
1. korak Končni množici S v R[X1,...,Xn,T] priredimo njeno Muchnikovo zaprtje CS. To je najmanjša množica, ki je zaprta za operacije D=odvajanje po T, O=opustitev člena z najvišjo potenco T in prem = psevdoostanek pri psevdodeljenju dveh polinomov. Dokazali smo, da je množica CS končna in da za vsak element p=cd Td+... iz CS tudi E(p)=d! cd pripada CS.
2. korak Naj bo CS0={p1,...,ps} množica vseh polinomov v CS, ki so stopnje 0 v T (=T-konstantnih polinomov). Za vsak ε=(ε1,...,εs} iz {-1,0,1}s definiramo množico Aε={sign p1=ε1,...,sign ps=εs}. Množice Aε so iskana dekompozicija množice Rn. Prihodnjič bomo razrezali še cilindre Aε × R.
Dokončali smo dokaz izreka o cilindrični algebraični dekompoziciji. Celoten dokaz je tukaj.
Dokazali smo, da so funkcije ξj, ki nastopajo v cilindrični algebraični dekompoziciji zvezne in semialgebraične. Odtod smo izpeljali, da je vsaka semialgebraična množica disjunktna unija semialgebraičnih množic, ki so semialgebraično homeomorfne (0,1)d za primeren d. Odtod sledi, da imajo semialgebraične množice končno komponent povezanosti in da lahko na smiseln način definiramo dimenzijo. Na koncu smo definirali pojem kvazieničnega polinoma in dokazali Noethersko normalizacijo, ki jo bomo potrebovali prihodnjič pri obravnavi Thomove leme s parametri.
Dokazali smo Thomovo lemo in Thomovo lemo s parametri. Celoten dokaz je tukaj.
Dokazali smi izrek o stratifikaciji in nekaj posledic, recimo izrek o končnosti, lemo o izbiri krivulje, dobro definiranost dimenzije. Omenili smo tudi izrek o triangulaciji (vsaka semialgebraična množica je semialgebraično homeomorfna omejeni semilinearni množici) ter skicirali idejo dokaza. Drugo uro smo definirali urejene obsege in dokazali, da relacijo urejenosti lahko podamo tudi s pozitivnim stožcem. Definirali smo tudi pojem predureditve in prave predureditve in dokazali, da je maksimalna predureditev ureditev. Odtod smo izpeljali, da ima dani obseg ureditev natanko tedaj, ko v njem -1 ni vsota kvadratov.
Predavanja so odpadla zaradi bolezni predavatelja.
Dokazali smo, da je vsaka predureditev presek vseh ureditev, ki jo vsebujejo. Definirali smo pojem razširitve ureditve. Formulirali smo leme o razširjanju ureditev na kvadratne razširitve, razširitve lihe stopnje in transcendentne razširitve. Definirali smo pojem maksimalno urejenega obsega in realno zaprtega obsega ter dokazali lemo o zvezi med tema dvema pojmoma.
Dokazali smo princip prenosa. Kot posledico smo dokazali, da je vsak realen polinom, ki je povsod nenegativen, enak vsoti kvadratov racionalnih funkcij. Nato smo definirali pojem ureditve na kolobarju. Realni spekter kolobarja je množica vseh njegovih ureditev. Definirali smo konstruktibilno, Harrisonovo in Zariskijevo topologijo na realnem spektru. Povedali smo, kako se prostor Rn vloži v realni spekter kolobarja R[X1,...,Xn]. Povedali smo tudi, da je slika te vložitve gosta v konstruktibilni topologiji realnega spektra, nismo pa še dokazali.
Algebrajska in geometrijska verzija izreka o pozitivnosti. Podrobnosti so tukaj.