1. vaja
 Enačbe in neenačbe

Uvod

Dokument v programu Mathematica je razdeljen na celice. Vsaka celica je ob desnem robu označena z oglatim oklepajem. 

Nekatere celice so vsebovane v drugih. Če dvakrat kliknemo na oklepaj kake skupinske celice, se celica zapre. Ko dvakrat kliknemo na zaprto celico, se ta odpre. Zaprte celice so označene z majhnim modrim trikotnikom na dnu modrega oklepaja. Zapiranje in odpiranje celic je uporabno, saj lahko na ta način celice, ki nas ne zanimajo zapremo. S tem postane dokument bolj pregleden.

Ukazi so ponavadi angleške besede pisane z velikimi črkami npr. Sin, Cos, Integrate, Expand, Factor, itd. 
Argumente ukazov podajamo v oglatih oklepajih npr. Expand[(x-1)(x+2)], Log[3]. 
Če ima ukaz več argumentov, jih ločimo z vejicami. 

Novo celico naredimo tako, da kliknemo v prostor med dvema celicama ali za zadnjo celico. Pojavi se vodoravna črta, ki kaže, kje se bo naredila nova celica. Ko začnemo tipkati, se naredi vhodna celica. Ko hočemo ukaz v vhodni celici izvesti, moramo pritisniti tipki Shift+Enter. Ob tem se izvedejo vsi ukazi, ki se nahajajo v celici. 

Ukaz ?ImeUkaza izpiše kratek opis ukaza. Sicer je na voljo tudi obsežnejša pomoč, ki jo najdemo v meniju Help.

1. Z ukazom ? in v meniju Help si poglej opis ukaza Divisors poišči vse delitelje števila 2009.

?Divisors

Divisors[2009]

Računanje z realnimi števili

Program Mathematica uporablja naslednje znake za osnovne operacije med števili:
vsota		+
razlika		-
produkt		* ali presledek, če množimo števila ali spremenljivke, sicer lahko * ali presledek izpustimo
kvocient	/
potenca		^
Decimalno ločilo je pika ., običajni oklepaji (), služijo spreminjanju vrstnega reda operacij, oglati oklepaji [] služijo podajanju funkcijskih argumentov, zaviti oklepaji {} pa so namenjeni seznamom.

2.a) Poišči produkt vsote števil 123 in 341 ter razlike števil 223 in 111.

(123+341)(223-111)

2.b) Poišči kvocient vsote števil 123 in 341 ter razlike števil 223 in 111.

Včasih nam pride prav izraz v zadnji vtipkani vhodni celici. Ponovno ga prikličemo s pritiskom tipk Ctrl+L.

(123+341)/(223-111)

2.c) Poišči vsoto kvadratov naravnih števil med 5 in 7.

5^2+6^2+7^2

2.d) Izračunaj število π na 20 decimalk natančno.

V Mathematici je nekaj osnovnih konstant že vgrajenih. Praviloma se začnejo z veliko začetnico. Najbolj pogosti sta  konstanti π in e,  predstavljeni s simboloma Pi oziroma E.

Pi

Ukaz N nam vrne numerično vrednost izraza.

N[Pi]

Prav tako lahko z ukazom N izačunamo izraz na poljubno število decimalk natančno:

N[Pi, 21]

2.d) Kako dober približek za π je ulomek 22/7?

N[Pi-22/7]

2.e) Izračunaj kvadratni koren števila 1368.

Sqrt[1368]

Število 1368 je celo število. Zato je ukaz Sqrt je vrnil natančno vrednost, ki pa ni celo število. Kako bi dobili približno vrednost?

Če za številom 1368 pišemo ., ga Mathematica obravnava kot realno število in izračuna približno vrednost.

Sqrt[1368.]

Polinomi in racionalne funkcije

Mathematica je uporabna tudi za simbolično računanje.

3.a) Zmnoži (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2).

Ukaz Expand zmnoži oklepaje.

Expand[(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)]

3.b) Kaj se zgodi, če vneseš le polinom (brez ukaza Expand)?

(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)

3.c) Določi vse realne ničle polinoma  6+7 x+6 (x^2)-(x^4)

Uporabi ukaz Factor, ki razcepi polinom na produkt kvadratnih in linearnih faktorjev. Realne ničle polinoma so natanko ničle linearnih faktorjev.

Factor[6+7 x+6x^2-x^4]

3.d) Poenostavi izraz  ((Cos[x])^4)-((Sin[x])^4).

Ukaz Simplify poenostavi izraz.

Simplify[Cos[x]^4-Sin[x]^4]

4.a) Zapiši izraz (8/(x-1))-((x^2)/(2+x))kot en sam ulomek

Simplify[8/(x - 1) - x^2/(x + 2)]

Ulomka moramo sešteti, kar pomeni, da ju je treba dati na skupni imenovalec, to pa naredimo z ukazom Together:

Together[8/(x-1)-x^2/(x+2)]

4.b) Kdaj je dobljeni izraz enak nič? Kdaj ni definiran?

Ukaza Numerator in  Denominator  vrneta števec oziroma imenovalec ulomka.

Izraz % označuje zadnji izračunani Out izraz.
Podobno, %% označuje predzadnji izračunani rezultat. 
Z %10 lahko uporabimo izraz Out[10].

Numerator[%]

Denominator[%%]

Ker iščemo ničle, uporabimo še ukaz Factor:

Factor[Numerator[ ]]
Factor[Denominator[ ]]

5. Zdeli polinoma 4(x^6)+x-1 in  (x^2)+1. Kakšen je ostanek pri deljenju?

Za deljenje polinomov uporabljamo ukaza PolynomialQuotient in PolynomialRemainder. S prvim zdelimo polinoma (vrne nam rezultat brez ostanka), drugi pa nam vrne ostanek.

PolynomialQuotient[4x^6+x-1,x^2+1,x]

PolynomialRemainder[4x^6+x-1, x^2+1,x]

Reševanje enačb

Reševanju enačb je namenjen ukaz Solve, ki ima dva argumenta: prvi je enačba, drugi pa spremenljivka, glede na katero rešujemo enačbo (v enačbi namreč lahko nastopa več spremenljivk). Enačaj v enačbi zapišemo z znakom ==.

6.a) Reši enačbo (x^2)+2 x -8=0.

Solve[x^2+2x-8==0,x]

6.b) Reši prejšnjo enačbo brez ukaza Solve.

Factor[x^2+2x-8]

7. Reši sistem dveh linearnih enačb 3 x+2 y=2 ter 7 x+5 y= - 4.

Z ukazom Solve lahko rešujemo tudi več enačb. Pri tem je prvi argument ukaza Solve seznam enačb zavitih oklepajih { }, drugi argument pa je seznam spremenljivk, ki jih iščemo.

Solve[{3x+2y-2==0,7x+5y+4==0}, {x,y}]

8. Reši enačbo 1+2 x-2 (x^2)-2 (x^3)+2 (x^4)+(x^5)-2 (x^6)+(x^8)=0.

Solve[1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8==0,x]

Mathematica ne zna poiskati natančnih rešitev enačbe. Z ukazom NSolve dobimo numerične približke za rešitve.

NSolve[1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8==0,x]

Reševanje neenačb

Pri reševanju neenčb si lahko pomagamo tako, da najprej rešimo pripadajočo enačbo. Množica rešitev neenčbe je unija intervalov, katerih krajišča so rešitve te enačbe in druge posebne točke, kot npr. poli ali točke nezveznosti. Iz stopnje posamezne rešitve lahko sklepamo, kako je z veljavnostjo neenačbe v okolici rešitve. Če je stopnja rešitve soda, bo neenačba ali na obeh straneh rešitve izpolnjena ali pa na obeh straneh ne bo izpolnjena. Če je ničla liha, bo neenačba na eni strani izpolnjena na drugi pa ne.

9.a) Analitično reši neenačbo (((x-1) x)/(3 x -4))>x-1

Together[x(x-1)/(3x-4)-x+1]

Poiščemo ničle:

Factor[Numerator[%]]

in pole:

Factor[Denominator[%%]]

Izračunane točke razdelijo realna stevila na več intervalov. Neenačba bo izpolnjena le na nekaterih intervalih. Poiskati moramo torej prave intervale. To bomo storili tako, da bomo preverili veljavnost neenačbe znotraj enega intervala (npr. v točki 0) in iz stopenj ničel ter polov zaporedoma ugotovili veljavnost za ostale intervale. 

enačba/.x->a zamenja vse vrednosti x v enačbi z a.

x(x-1)/(3x-4)>x-1/.x->0

9.b) Zgornjo neenačbo reši še grafično tako, da narišeš graf razlike in odčitaš, kje je pozitiven:

Za risanje funkcji uporabljamo ukaz Plot. Ukaz Plot potrebuje dva parametra: funkcijo v obliki f[x] in interval oblike {x,a,b}, kjer je x spremenljivka, ki nastopa v f, a in b pa meji intervala, na katerem želimo funkcijo narisati, npr:

Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}]

Plot[x(x-1)/(3x-4)-x+1,{x,0,3}]

Zgornjo neenačbo lahko rešimo tudi tako, da narišemo funkcijo na vsaki strani neenačbe posebej. Za vsako uporabimo drugo barvo!

Plot[{x(x-1)/(3x-4),x-1},{x,-3,3},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

10. Grafično reši neenačbo |((x-1)/(2 x -3))|>(1/x)

Absolutna vrednost: Abs

Plot[{Abs[(x-1)/(2x-3)]-1/x},{x,-3,3}]

Plot[{Abs[(x-1)/(2x-3)],1/x},{x,-3,3}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

V Mathematici je reševanju neenačb namenjen ukaz InequalitySolve, ki pa reši samo neenačbe s polinomskimi funkcijami. Če želimo ta ukaz uporabljati moramo najprej naložiti paket <<Algebra`InequalitySolve`:

<<Algebra`InequalitySolve`

11. Rešimo neenačbo iz 9. naloge še z ukazom InequalitySolve, pri čemer znak > zamenjajmo z >=:

InequalitySolve[x(x-1)/(3x-4)>=x-1,{x}]

Če v ukaz InequalitySolve vstavimo neenačbo, v kateri nastopajo nepolinomske funkcije, ne dobimo prave rešitve.

Naloge

1. Poišči opis ukazov Quotient in Mod in izračunaj količnik in ostanek pri deljenju 2009 s 45. Naredi preizkus. Če ti opis v Help-u ni jasen, si oglej primere v razdelku Further Examples!

2. Izračunaj točno vrednost kvadratnega korena števila 40 in nato še približno vrednost izračunano na deset decimalk.

3. Deli polinom (x^4)-3  (x^3)+2 (x^2)+x-1  z  (x^2)+2x-1. Kakšen ostanek dobiš pri tem?

4. Reši enačbo 4(x^4)+4(x^3)-9(x^2)-x+2=0 z ukazoma Solve in Factor.

5. Grafično reši neenačbo |((x+2)/(2 x -4))|<(1/x).