3. vaja

Zveznost, zlepki in računanje limit

Pravimo, da je funkcija f zvezna v točki a∈ D(f), kadar za vsako zaporedje (Subscript[a, n])∈ D(f), ki konvergira k a, zaporedje f((Subscript[a, n])) konvergira k f(a). Grafično to pomeni, da se graf funkcije f ne pretrga v točki (a,f(a)), če se definicijsko območje funkcije f ne pretrga v točki a.

1.a) Definiraj funkciji f(x)=(x^2)-3x+1 in g(x)=ArcSin(1/x) na intervalu (-∞,-1] in [1,∞), ter g(x)=x+1 na intervalu (-1,1). Nariši grafa obeh funkcij. Ali sta zvezni?

f[x_]:=x^2-3x+1
g[x_]:= If[-1 < x < 1, x+1,ArcSin[1/x]]

Plot[f[x],{x,-3,3}]
Plot[g[x],{x,-3,3}]

Iz grafa funkcije g razberemo, da ni zvezna v točkah x=-1 in x=1. Leve in desne limite funkcije lahko izračunamo z ukazom Limit.

Limit[g[x],x->-1,Direction->1]

Limit[g[x],x->-1,Direction->-1]

Limit[g[x],x->1,Direction->1]

Limit[g[x],x->1,Direction->-1]

1.b) Izračunaj naslednji limiti:
   i) ((x+a)/x)^(bx), ko gre x proti neskončno,
   ii) Sin(3x)/(x-π), ko gre x proti π.

Limit[((x+a)/x)^(b x),x->Infinity]

Limit[Sin[3 x]/(x - Pi), x->Pi]

Iskanje ničle lihe stopnje z bisekcijo

Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a,b] in naj bosta f(a) in f(b) različno predznačeni neničelni števili. Po izreku o vmesnih vrednostih ima funkcija f na intervalu [a,b] vsaj eno ničlo. Izračunajmo y=f(((a+b)/2)).Če je slučajno y=0, smo našli ničlo funkcije f. Če sta f(a) in y različno predznačeni števili, potem je vsaj ena ničla na intervalu [a,((a+b)/2)]. Definiramo (Subscript[a, 1])=a, (Subscript[b, 1])=((a+b)/2). Če pa sta y in f(b) različno predznačeni števili, potem je vsaj ena ničla na intervalu [((a+b)/2),b]. Definiramo (Subscript[a, 1])=((a+b)/2), (Subscript[b, 1])=b. Ta postopek ponovimo na podintervalu [(Subscript[a, 1]),(Subscript[b, 1])], dobimo podinterval [(Subscript[a, 2]),(Subscript[b, 2])]in tako naprej. Ustavimo se, ko se vrednosti (Subscript[a, n])  in (Subscript[b, n]) dovolj malo razlikujeta.

2.a) Pokaži,da ima funkcija f (x) = (3^x)-(x^3) ničlo na zaprtem intervalu [2,2.5].

Clear[f];
f[x_]:=3^x-x^3

f[2]
f[2.5]

2.b) Določi ničlo funkcije sinus na intervalu [6,7] na 2 decimalni mesti natančno.

N[Sin[6]]
N[Sin[7]]

N[Sin[6.5]]

N[Sin[6.25]]

(6.25+6.5)/2

N[Sin[6.375]]

(6.375+6.25)/2

N[Sin[6.3125]]

Minimum in maksimum zvezne funkcije na zaprtem intervalu

Če je f zvezna funkcija na zaprtem intervalu [a,b], je na tem intervalu omejena in doseže minimum in maksimum. Natančneje, na intervalu [a,b] obstajata števili (Subscript[x, m]) ter (Subscript[x, M]), za  kateri velja f((Subscript[x, m]))≤ f(x) ≤ f((Subscript[x, M])) za vsako število x iz intervala [a,b].

Prav tako funkcija f zavzame vse vrednosti med minimumom in maksimumom.

3.a) Ali zavzame funkcija f(x)=(x^3)-2(x^2)-3x+1 na intervalu  [-2,3] vrednost 1.5?

Clear[f,a];
f[x_]:=x^3-2x^2-3x+1

f[-2]
f[3]

Plot[f[x],{x,-2,3}]

f[-0.5]

Seveda si tudi tu lahko pomagamo z ukazom NSolve.

3.b) Poišči vsa števila x na intervalu [-2,3], za katera velja f(x)=1.5 in se v to prepričaj še grafično.

NSolve[f[x]==1.5,x]

Plot[{f[x],1.5},{x,-2,3},PlotStyle->{RGBColor[1,0,1],RGBColor[0,1,0]}]

3.c) Grafično določi minimum in maksimum zvezne funkcije f(x)=(x^3)-2(x^2)-3x+1 na zaprtem intervalu [-2,3].

Plot[f[x],{x,-2,3}]

Na zgornji način lahko minimum in maksimum določimo le zelo približno.

3.d) Določi zalogo vrednosti funkcije f na zaprtem intervalu [-2,3] s pomočjo ukaza ParametricPlot, tako da graf funkcije projiciraš na ordinatno os. Uporabi opcijo PlotRange za natančnejšo določitev in z zoževanjem določi maksimum na dve decimalki natančno.

ParametricPlot[{{x,f[x]},{0,f[x]}},{x,-2,3},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}]

Opcija PlotRange omeji, katere točke so prikazane na grafu.

ParametricPlot[{x,f[x]},{x,-2,3},PlotRange->{{-1,0},{1,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

ParametricPlot[{x,f[x]},{x,-2,3},PlotRange->{{-0.6,-0.45},{1.8,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

ParametricPlot[{x,f[x]},{x,-2,3},PlotRange->{{-0.55,-0.5},{1.8,1.9}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

ParametricPlot[{0,f[x]},{x,-2,3},PlotRange->{{-0.04,0.04},{1.80,1.90}},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}]

Da preverimo, ali je število M stroga zgornja (spodnja) meja funkcije, lahko uporabimo ukaz NSolve. Če je namreč f(x)< M za vsa števila x iz intervala [a,b], potem enačba f(x)-M=0 na intervalu [a,b] nima rešitev.

3.e) Prepričaj se, da je 1.88 stroga zgornja meja za funkcijo f na zaprtem intervalu [-2,3].

NSolve[f[x]==1.88,x]

Limita funkcije ter zvezna razširitev funkcije

Pravimo, da je število L limita funkcije f v točki a, če je funkcija F(x)=f(x) za x≠a ter F(x)=L za x=a zvezna v točki a.

V nekaterih primerih funkcija v točki x ni definirana, obstaja pa limita. Funkcijo lahko razširimo do zveznosti, tako da bo vrednost funkcije v točki x enaka limiti.

4.a) Funkcijo f(x)=sin(x)/x zvezno razširi na vsa realna števila.

Clear[f,a];
f[x_/;x≠0]:=Sin[x]/x;
f[0]:=a;

4.b) Nariši graf funkcije f(x) za različne vrednosti a in določi a, tako da bo f zvezna v točki x=0.

a=0

graf=Plot[f[x],{x,-5,5}, DisplayFunction->Identity]

tocka=ListPlot[{{0,f[0]}},PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[1,0,0]}, DisplayFunction->Identity];

Show[graf,tocka,DisplayFunction->$DisplayFunction]

a=Limit[Sin[x]/x,x->0]

tocka=ListPlot[{{0,f[0]}},PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[1,0,0]}, DisplayFunction->Identity];

Show[graf,tocka,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Odvod

Odvod funkcije f je definiran kot limita količnika ((f(x+h)-f(x))/h), ko gre h proti 0.

5.a) Po definiciji izračunaj odvod funkcije f(x)=1/x.

Limit[(1/(x+h) -1/x)/h,h->0]

Za odvajanje v Mathematici uporabljamo ukaz D.

?D

Odvod funkcije f[x] dobimo z ukazom D[f[x],x] ali f'[x]:

f[x_]:=4x^4-5x^3+8x^2-3x+12

D[f[x],x]

f'[x]

Naslednji ukaz izpiše tabelo osnovnih odvodov:

Map[{#,D[#,x]}&,{1,x,x^2,x^a,1/x,E^x,a^x,Log[x],Sin[x], Cos[x], ArcSin[x],ArcCos[x]}]//TableForm

5.b) Izračunaj drugi odvod funkcije g(x)= (cos^2)((e^(x^2))).

g[x_]:= Cos[E^(x^2)]^2

g''[x]

Drugi odvod funkcije lahko izračunamo tudi z ukazom D[f[x],{x,2}]:

D[g[x],{x,2}]

5.c) Izračunaj prvi in drugi odvod funkcije g(x)=x|x|.

D[x Abs[x],x]

g[x_]:=If[x>0,x^2,-x^2]
D[g[x],x]
D[g[x],{x,2}]

Plot[{g[x],g'[x],g''[x]},{x,-2,2}]

Naloge

1. Z bisekcijo poišči ničlo funkcije 1/x + log|x| na dve decimalki natančno.

2. Poišči zalogo vrednosti funkcije f(x)=((1-log(x))/(x^2)) na intervalu [3,6] na dve decimalki natančno. Rezultat preveri z ukazom NSolve.

3. Izračunaj naslednje limite:
   a) (2+x)(e^(1/x))-x, ko gre x proti neskončno, 
   b) (sin^3)(x)/(sin(x)-x), ko gre x proti 0,
   c) ((((x + 1))^(1/6))-(((1-x))^(1/6)))/x, ko gre x proti 0,
   d) arctan(x/(x+1)), ko gre x proti -1.

4. Po definiciji izračunaj odvod fukcije f(x)=sin x.

5. Izračunaj prvi in drugi odvod fukcije f(x)=sin(x)(x/((x^2)+2)).