4. vaja

Sekanta in tangenta

Naj bo f funkcija in naj bosta a in h takšni realni števili, da je interval med a in a+h vsebovan v definicijskem območju funkcije f. 
Sekanta funkcije f skozi točki (a,f(a)) in (a+h,f(a+h)) ima enačbo
y=((f(a+h)-f(a))/h)(x-a) + f(a).

1.a) Definiraj funkcijo sekanta[f,a,h,x], ki poda enačbo sekante funkcije f skozi točki (a,f(a)) in (a+h,f(a+h)).

sekanta[f_,a_,h_,x_]:=(f[a+h]-f[a])/h(x-a)+f[a]

1.b) Nariši funkcijo f(x)=xcos(3x).

f[x_]:=x Cos[3x]

Plot[f[x],{x,-3,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]

1.c) Nariši sekante funkcije f skozi točko (0,0) pri parametrih h = 0.4, 0.3, 0.2 in 0.1.

Plot[{f[x],sekanta[f,0,0.4,x],sekanta[f,0,0.3,x],sekanta[f,0,0.2,x],sekanta[f,0,0.1,x]},{x,-1,1},PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006]},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed}},AspectRatio->Automatic]

Opazimo, da z bližanjem h proti 0 dobimo premico, ki se v dani točki dotika grafa. To premico imenujemo tangenta. Ker vemo, da velja:
(lim_(h->0)) ((f(x+h)-f(x))/h)= f'(x),
lahko zapišemo enačbo tangente funkcije f v točki a:
y=f'(a)(x-a)+f(a)

1.d) Definiraj funkcijo tangenta[f,a,x], ki poda enačbo tangente funkcije f v točki a.

tangenta[f_,a_,x_]:=f'[a](x-a)+f[a]

1.e) Nariši funkcijo f in njeno tangento v točki 0 v isti koordinatni sistem.

Plot[{f[x],sekanta[f,0,0.4,x],sekanta[f,0,0.3,x],sekanta[f,0,0.2,x],sekanta[f,0,0.1,x],tangenta[f,0,x]},{x,-1,1},PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006]},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0045]}},AspectRatio->Automatic]

1.f) Definiraj funkcijo normala[f,a,x], ki poda enačbo normale na graf funkcije f v točki a.

normala[f_,a_,x_]:=(-1/f'[a])(x-a)+f[a]

1.g) Nariši še normalo na graf funkcije f v točki 0.

Plot[{f[x],sekanta[f,0,0.4,x],sekanta[f,0,0.3,x],sekanta[f,0,0.2,x],sekanta[f,0,0.1,x],tangenta[f,0,x],normala[f,0,x]},{x,-1,1},PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.006]},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[1,0,0],Dashed},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0045]},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0045]}},AspectRatio->Automatic]

Geometrijski pomen odvoda

2.a) Nariši funkcijo g(x)=3x-(x^3) in njen prvi odvod v isti koordinatni sistem.

g[x_]:=3x-x^3

Plot[{g[x],g'[x]},{x,-3,3},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},RGBColor[0,0,1]},PlotRange->{-9,9}]

Opazimo, da je funkcija naraščajoča v točkah, kjer je f'(x)>0 in padajoča v točkah, kjer je f'(x)<0. Točke, kjer je f'(x)=0, imenujemo stacionarne točke. Stacionarne točke imamo treh vrst. Lahko nam podajajo lokalne ekstreme (maksimum ali minimum) ali pa prevoj. 
Če je točka (Subscript[x, 0]) stacionarna, potem zanjo velja:
- v (Subscript[x, 0]) je lokalni maksimum, če f''((Subscript[x, 0]))<0. (To pomeni, da na nekem intervalu I okoli točke (Subscript[x, 0]) velja f((Subscript[x, 0]))≥f(x) za vse x∈I.)
- v (Subscript[x, 0]) je lokalni maksimum, če f''((Subscript[x, 0]))>0. (To pomeni, da na nekem intervalu I okoli točke (Subscript[x, 0]) velja f((Subscript[x, 0]))≤f(x) za vse x∈I.)
- v (Subscript[x, 0]) je prevoj, če f''((Subscript[x, 0]))=0. (To pomeni, da preide graf iz konkavnega v konveksnega ali obratno.)

2.b) Poišči stacionarne točke funkcije g in nariši tangente na graf funkcije v teh točkah.

Solve[g'[x]==0,x]

Plot[{g[x],g'[x],tangenta[g,-1,x],tangenta[g,1,x]},{x,-3,3},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},RGBColor[0,0,1],{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0001]},{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0001]}},PlotRange->{-9,9}]

2.c) Nariši funkcijo g in njen drugi odvod v isti koordinatni sistem.

Plot[{g[x],g''[x]},{x,-3,3},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},RGBColor[0,0,1]},PlotRange->{-9,9}]

2.d) Poišči prevoje funkcije g in nariši tangente na graf funkcije v njih.

Solve[g''[x]==0,x]

Plot[{g[x],g''[x],tangenta[g,0,x]},{x,-3,3},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},RGBColor[0,0,1],{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.0001]}},PlotRange->{-9,9}]

2.e) Poišči globalni minimum in maksimum funkcije g na intervalu [0,2].

Plot[g[x],{x,0,2},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},AspectRatio->Automatic]

Kandidati za globalne ekstreme funkcije g na intervalu [a,b] sta robni točki a in b ter stacionarne točke funkcije g na intervalu (a,b).

Solve[g'[x]==0,x]

g[0]

g[1]

g[2]

V Mathematici sta že vgrajena ukaza Minimize in Maximize za računanje globalnih ekstremov.

Minimize[{g[x],0≤x≤2},x]

Maximize[{g[x],0≤x≤2},x]

Na razpolago sta tudi ukaza NMinimize in NMaximize za numerično računanje globalnih ekstremov.

2.f) Določi stacionarne točke in njihovo naravo, ter intervale naraščanja in padanja za funkcijo f (x) = (x^2)(e^x)+1.

Clear[f]

f[x_]:=x^2 E^x+1

Plot[{f[x],f'[x]},{x,-4,2},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.005]},RGBColor[0,0,1]},PlotRange->{-3,3}]

Solve[f'[x]==0,x]

Reduce[f'[x]<0,{x}]

Reduce[f'[x]>0]

f''[-2]

f''[0]

Plot[{f[x],f'[x],tangenta[f,-2,x],tangenta[f,0,x]},{x,-4,2},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.0042]},RGBColor[0,0,1],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,1,0]},PlotRange->{-3,3}]

Nedoločeni integrali

V Mathematici lahko s funkcijo Integrate[f[x],x] določimo primitivno funkcijo funkcije f do aditivne konstante natančno.

??Integrate

Naslednji ukaz izpiše tabelo nedoločenih integralov nekaterih elementarnih funkcij:

Map[{#,Integrate[#,x]}&,{1,x,x^2,x^a,1/x,E^x,a^x,Sin[x],Cos[x]}]//TableForm

3.a) Integriraj funkcijo f (x) = ((x^2)+3x-2)/((x^3)+2(x^2)-x-2), tako da jo razstaviš na parcialne ulomke.

Apart[(x^2+3x-2)/(-2-x+2 (x^2)+(x^3))]

Integrate[(1/(3 (-1+x))),x]+Integrate[+(2/(1+x)),x]+Integrate[-(4/(3 (2+x))),x]

3.b) Preveri, da je rezultat pravilen s funkcijo Integrate.

Integrate[(x^2+3x-2)/(-2-x+2 (x^2)+(x^3)),x]

3.c) Izračunaj nedoločene integrale naslednjih funkcij :
a)f(x)=xln(x), 
b)f(x)=(x^3)sin(x),
c)f(x)=sin(x)(e^x).

Integrate[x Log[x],x]

Integrate[x^2 Sin[x],x]

Integrate[Sin[x] E^x,x]

Določeni integrali

Funkcija Integrate[f,{x,a,b}] omogoča tudi računanje določenega integrala funkcije f na intervalu [a,b].

4.a) Izračunaj določeni integral funkcije f(x)=(x^3)Sin(x) na intervalu [-π,π].

Plot[x^3 Sin[x],{x,-Pi,Pi},Filling->Bottom]

Integrate[x^3Sin[x],{x,-Pi,Pi}]

4.b) Izračunaj ploščino in središče lika, ki ga omejujeta krivulji y=(1/x) in y=-x+5.

Plot[{1/x,-x+5},{x,0,7},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[0,0,1]},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,7}]

Solve[1/x==-x+5,x]

Graf=Plot[{1/x,-x+5},{x,1/2(5-Sqrt[21]),1/2(5+Sqrt[21])},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[0,0,1]},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,5},Filling->{1->{2}},AxesOrigin->{0,0}]

S=Integrate[-x+5-1/x,{x,1/2(5-Sqrt[21]),1/2(5+Sqrt[21])}]

Tx=Integrate[(-x+5-1/x)x,{x,1/2(5-Sqrt[21]),1/2(5+Sqrt[21])}]/S

Ty=Integrate[1/2((-x+5)^2-(1/x)^2),{x,1/2(5-Sqrt[21]),1/2(5+Sqrt[21])}]/S

Sredisce=ListPlot[{{Tx,Ty}},PlotStyle->{PointSize[0.02],RGBColor[1,0,0]}, DisplayFunction->Identity]

Show[Graf,Sredisce]

4.c) Izračunaj površino in volumen vrtenine, ki jo dobimo, če krivuljo y = 4 - (x^2) na intervalu [-1,1] zavrtimo okoli osi x.

Clear[f]

f[x_]:=4-x^2

Plot[f[x],{x,-1,1},AxesOrigin->{0,0}]

RegionPlot3D[z^2+y^2<f[x],{x,-1,1},{y,-2,2},{z,-2,2},Boxed->False,AxesOrigin->{0,0,0}]

P=2Pi Integrate[f[x]*Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,1}]

Pri določenem integralu lahko podobno kot pri reševanju enačb z ukazom NIntegrate poiščemo približek za željeni integral.

P=2Pi NIntegrate[f[x]*Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,1}]

V=Pi Integrate[f[x]^2,{x,0,1}]

4.d) Izračunaj obseg elipse s polosema a=2 in b=1.

Elipsa[x_,a_,b_]:=Sqrt[b^2 (1-x^2/a^2)]
f[x_]:=Elipsa[x,2,1]

Plot[f[x],{x,-3,3},PlotRange->{0,3},AspectRatio->Automatic]

o=2  Integrate[Sqrt[1+f'[x,2,1]^2],{x,-2,2}]

o=2 NIntegrate[Sqrt[1+f'[x,2,1]^2],{x,-2,2}]

Naloge

1. Dana je funkcija f(x)=xlog(x+1). Nariši v isti koordinatni sistem graf funkcije f ter tangento in normalo na graf funkcije f v točki x=1.

2. Za naslednje funkcije poiščite intervale naraščanja in padanja, njihove stacionarne točke ter njihov tip, prevoje:
a)f(x)=(x^4)-5(x^3)+3(x^2)+5x-4, 
b)f(x)=((e^x)/(x^2)) na intervalu (0,∞).

3. Izračunaj naslednje integrale:
a) Nedoločeni integral funkcije ((x^2) + x - 1)/((x^4) + (x^3)-5(x^2)+x-6),
b) Nedoločeni integral funkcije sin(sin(x))cos(x),
c) Določeni integral funkcije (sin^2)(x) na intervalu [0,2Pi],
d) Določeni integral funckije x(e^(-x)) na intervalu [0,∞).

4. Izračunaj ploščino in središče lika, omejenega z grafoma funkcij y=(x^2)+x+1 in y=-(((x-2))^2)+10.

5. Izračunaj dolžino ene periode grafa sinusoide f(x)=sin(x).