Problem

Samo s pomočjo osnovnih štirih operacij bi radi izračunali vrednost Sqrt[1+x] za x z intervala [0,1] tako, da bo napaka izračunanega približka pod 1%.

Taylorjeva vrsta okrog 0

Series[Sqrt[1+x],{x,0,10}]

Iz alternirajoče vrste sledi, da bo napaka pod 1%, če seštejemo prvih 10 členov, v praksi pa zadošča že prvih 6 členov.

pt[x_]=Normal[Series[Sqrt[1+x],{x,0,5}]]

Plot[Abs[Sqrt[1+x]-pt[x]]/Sqrt[1+x],{x,0,1},PlotRange->All]

Za računanje vrednosti pt[x] potrebujemo 10 operacij, saj ga zapšiemo v obliki

                                pt[x]=((((7/256 x - 5/128) x + 1/16 ) x - 1 /8 ) x + 1/2 ) x +1

Koeficiente izračunamo že prej.

Taylorjeva vrsta okrog 1/2

Series[Sqrt[1+x],{x,1/2,5}]

N[8*Sqrt[6]*18]

Tu zadoščajo že 3 členi.

p2[x_]=Normal[Series[Sqrt[1+x],{x,1/2,2}]]

Expand[p2[x]]

Plot[Abs[Sqrt[1+x]-p2[x]]/Sqrt[1+x],{x,0,1},PlotRange->All]

Za izračun p2[x] potrebujemo 4 operacije, saj je p2[x]= (a2 x + a1) x  + a0.

Polinom najboljše enakomerne aproksimacije

<<NumericalMath`Approximations`

?MiniMaxApproximation

abc=MiniMaxApproximation[Sqrt[1+x],{x,{0,1},1,0}]

p3[x_]=abc[[2,1]]

Plot[(Sqrt[1+x] - p3[x])/Sqrt[1+x],{x,0,1}]

Če uporabimo polinom najboljše enakomerne aproksimacije stopnje 1, potem za izračun p3[x] potrebujemo le 2 operaciji.