Osnove računanja z Mathematico Naloge - 4.del

1. Razcepi 2^{(20)} + 1 na prafaktorje.

2. Razvij (\frac{x}{3} + \frac{3}{x})^{4}.

3. Poenostavi \frac{(x^{6} + a^{6})(x + 1)}{(x^{6} + a^{6})(x^{2} − a^{2}) + a^{2}x^{2}(x^{4} − a^{4})} + \frac{a^{2}x^{2}(x + 1)}{x^{6} − a^{6} − a^{2}x^{2}(x^{2} − a^{2})}.

4. Ugotovi, ali sta si polinoma p(x) = −6x^{6} − 10x^{5} + 10x^{4} + 19x^{3} + 14x^{2} − x − 2 in q(x) = 2x^{4} − 2x^{2} − 3x − 1 tuja.

5. Zapiši polinom p(x, y) = (2x − y + 1)(x − 3y + 3) kot polinom dveh spremenljivk (brez oklepajev), kot polinom x in kot polinom y.

6. Poenostavi izraz sin^{3} 2 + sin 2 + cos^{2} 2 sin 2.

7. Reši enačbe ali sisteme enačb: a) 6x^{2}+x = 2; b) ax^{2}+bx+c = 0; c) x = y = 5, 2x+6y = 23; d) ax + by = u, cx + dy = v.

8. Koliko let šteje kdor je bil pred šestimi leti trikrat manj star kot bo čez dvajset let?

9. Reši sistem enačb 9+14x+13x^{2}−42y−24xy+45y^{2} = 0, 5−6x+15x^{2}−30y+24xy+39y^{2} = 0 eksaktno in približno. Obe krivulji nariši z ukazom ImplicitPlot.

10. Izračunaj limito \frac{a^{x}−b^{x}}{x} v točki 0.

11. Izračunaj limito \frac{(x+h)^{3}−x^{3}}{h}, ko gre h proti 0.

12. Izračunaj tretji odvod e^{x^{2}}.

13. Izračunaj parcialni odvod x^{n} log x po n.

14. Nariši graf funkcije f(x) = sin(x) cos(x/2) skupaj s tangento in normalo na to krivuljo v točki x = 1.

15. Dana je racionalna funkcija r(x) = p(x)/q(x), kjer p(x) = x^{3} − 2x^{2} + x in q(x) = x^{2} − 1. Izračunaj k in n kot k = lim_{x→∞} \frac{p(x)}{xq(x)} in n = lim_{x→∞}(p(x)/q(x) − kx). Nariši graf r(x) skupaj s premico y = kx + n. Kaj opaziš?

16. Nariši krivulji y = x + 2, y = x^{2} − 1. Za vsako presečišče med krivuljama izračunaj kot med krivuljama.

17. Diferenciraj exp(x^{2} − 2x).

18. V točki T_{1}(−1, y_{1}) krivulje y = x^{2}/(x + 2) položi tangento, ki naj bo tudi tangenta parabole y = x^{2} + x + a. Izračunaj a in dotikališče na drugi krivulji, nariši obe krivulji in tangento.

19. Na krivuljo y = (3x − 2)/(x + 2) položi tangento, ki gre skozi koordinatno izhodišče.

20. Nariši enakostranični trikotnik skupaj z njegovo včrtano in očrtano krožnico.