NUMERIČNE METODE
ZA LINEARNE KONTROLNE SISTEME
Podiplomski
študij matematike - raziskovalna smer, 2005/2006
doc. dr.
Bor Plestenjak
Število
ur: 60
Opis predmeta
Linearni
časovno nespremenjeni kontrolni zvezni sistem lahko opišemo z enačbama
, 
, 
,
,
kjer so:
·
matrika stanja,
·
vhodna (kontrolna)
matrika (
),
·
izhodna matrika (
),
·
prehodna matrika,
·
vektor
stanj,
·
vhodni
(kontrolni) signal in
·
izhodni
signal.
Iz stanja sistema 
v trenutku 
in obnašanja vhoda na
časovnem intervalu 
lahko reguliramo
obnašanje izhoda za 
.
Spoznali
bomo osnovno teorijo linearnih kontrolnih sistemov, potem pa bo poudarek na
numeričnih metodah, ki jih potrebujemo za reševanje raznih matričnih problemov,
ki se tu pojavijo. Metode bomo praktično preizkušali v Matlabu, študentje pa
bodo pridobljeno znanje lahko praktično utrdili ob domačih nalogah.
Vsebina
- Linearni
kontrolni sistemi. Zvezni in diskretni sistemi. Vzhodno-izhodne
diferencialne enačbe, prostor stanj. Stabilnost, vodljivost, spoznavnost.
Regulatorji, odprtozančni in zaprtozančni sistemi.
- Odziv
sistema. Rešitev zveznega sistema. Računanje eksponentne funkcije matrike
preko razvoja v Taylorjevo vrsto, Padéjeve aproksimacije in različnih
faktorizacij.
- Numerično
testiranje vodljivosti in spoznavnosti. Oddaljenost od najbližjega
nevodljivega sistema. Oddaljenost od najbližjega nestabilnega sistema.
- Numerično
reševanje in stabilnost Ljapunove matrične enačbe
, Sylvestrove matrične enačbe 
in diskretne
Ljapunove matrične enačbe 
. Uporaba Jordanove forme, Bartels-Stewartov algoritem,
Hessenberg-Schurova metoda, posplošene Schurove metode.
- Numerično
reševanje in stabilnost Riccatijeve matrične enačbe
in diskretne
Riccatijeve matrične enačbe. Uporaba lastnega razcepa, Schurova metoda,
Newtonova metoda, posplošene Schurove metode.
- Rekonstrukcija
stanj iz izhodov, opazovalec, Kalmanov filter.
- Uravnoteženje
sistema. Redukcija modela. Stabilizacija s povratno zvezo in razporejanje
lastnih vrednosti. Stabilizabilen sistem. Razporejanje polov.
- Metode
podprostorov Krilova. Uporaba pri reševanju Ljapunove, Sylvestrove in
Riccatijeve matrične enačbe. Uporaba pri redukciji modela.
- Hamiltonske
in poševno-Hamiltonske matrike. Algoritmi za računanje lastnih vrednosti,
lastnih vektorjev in invariantnih podprostorov.
- Psevdospekter
matrike.
Literatura
- B.
N. Datta: Numerical Methods for Linear Control Systems, Elsevier
Academic Press, San Diego, 2004.
- P.
Hr. Petkov, N. D. Christov, M. M. Konstantinov: Computational Methods
for Linear Control Systems,
Prentice Hall, 1991.
- S.
Barnett, R. G. Cameron: Introduction to Mathematical Control Theory,
second edition, Clarendon Press,
Oxford, 1985.
- L.
N. Trefethen: Pseudospectra of linear operators, SIAM Review 39
(1997), 383-406.