Boris Lavrič /
Tomaž Košir
PROGRAM PODIPLOMSKEGA
PREDMETA
KONVEKSNOST
IZOBRAŽEVALNA SMER -
2006/2007
Vsebine:
Afine in konveksne množice (osnovne lastnosti).
Caratheodoryjev in Radonov izrek.
Politopi in poliedri. Izrek Weyla in Minkowskega.
Sistemi linearnih neenačb in osnove
linearnega programiranja.
Hellyjev izrek (uporaba in posplošitve).
Kombinatorični tipi politopov (zgledi).
Eulerjeva formula, Dehn-Sommervilleove enačbe.
Steinitzov inverzni problem v R^3.
Tlakovanja s konveksnimi politopi.
Izrek Minkowskega in geometrija števil.
Pri predmetu
Konveksnost (2. semester) si bomo najprej ogledali nekaj vrst konveksnih
politopov, to je kompaktnih konveksnih geometrijskih teles, ki so omejena z
afinimi podprostori v R^n. Zgledi teh so simpleksi, piramide, prizme,
simplicialni politopi, ciklični politopi, itd. Nato bomo spoznali Eulerjevo
formulo in Dehn-Sommervillove enačbe, ki povezujejo števila lic posameznih
dimenzij. Obravnavali bomo Steinitzov inverzni problem v R^3
in tlakovanja prostora R^n s konveksnimi politopi. Če bo čas, bomo
spoznali tudi izrek Minkowskega in ga uporabili v geometriji števil.
Poudarek tečaja je na prepletu geometrije in
kombinatorike. Osnovni učbenik je knjiga Branka Grunbauma: Convex
polytopes. Če želite še kako informacijo, mi pišite na naslov
tomaz.kosir@fmf.uni-lj.si.
Contents of the Graduate course Convexity:
Affine and convex sets (basic properties).
Caratheodory’s theorem and Radon’s theorem.
Polytopes and polyhedra. Theorems of Weyl and
Minkowski.
Systems of linear inequations and basics of
linear programming.
Helly’s theorem (applications and generalizations).
Combinatorial types of polytopes (examples).
Euler’s formula, the Dehn-Sommerville equations.
Steinitz’s inverse problem in R^3.
Tilings with convex polytopes.
Minkowski’s theorem
and the geometry of numbers.
Literatura
:
A. Brondsted. An introduction to convex polytopes.
J. Stoer, C. Witzgall. Convexity and optimization in
finite dimensions I.
Danzer, Grunbaum, Klee. Helly's theorem and its
relatives, članek v Convexity,
V.Klee (urednik).
B. Grunbaum. Convex polytopes.
E. Shulte. Tilings, prispevek v Handbook of Convex
Geometry.
I. Stewart, D. Tall. Algebraic number theory and
Fermat's last theorem.
G. Ewald. Combinatorial Convexity and Algebraic
Geometry.
Domače naloge v 2. semestru: