Matematika za kemike

• Dodatni teoretični rok bo 10.6. ob 8h v VP (Snežniska 5).
  Pridejo lahko vsi tisti, ki imajo pozitivno oceno iz kolokvijev.
  Prijavite se na prvi računski rok (14.06.2010).
• Prvi teoretični rok bo 28.6. ob 13h v 2.05 (Jadranska 21).
  Pridejo lahko vsi tisti, ki imajo pozitivno oceno iz kolokvijev ali pozitivno oceno iz prvega računskega roka.
  Prijavite se na prvi računski rok (14.06.2010).
• Drugi teoretični rok bo 13. 7. ob 10h v 2.05 (Jadranska 21).
  Pridejo lahko vsi tisti, ki imajo pozitivno oceno iz kolokvijev ali pozitivno oceno iz prvega ali drugega računskega roka.
  Prijavite se na drugi računski rok (09.07.2010) ali na prvi računski rok (14.06.2010).
• Tretji teoretični rok bo 3. 9. ob 9h v 2.05 (Jadranska 21).
  Pridejo lahko vsi tisti, ki imajo pozitivno oceno iz kolokvijev ali pozitivno oceno iz prvega ali drugega ali tretjega računskega roka.
  Prijavite se na tretji računski rok (23.08.2010).
• Četrti teoretični rok bo 21.9. ob 8h v NP.
  Pridejo lahko vsi tisti, ki imajo pozitivno oceno iz kolokvijev ali pozitivno oceno iz prvega ali drugega ali tretjega ali četrtega računskega roka.
  Prijavite se na četrti računski rok (15.09.2010) ali na tretji računski rok (23.08.2010).

• Prvo poglavje
• Drugo poglavje
• Tretje poglavje

• Povzetki predavanj

  • (25. 2. 2010) I. del Analitična geometrija in linearna algebra
    
    1. poglavje: Vektorji v Rⁿ
    
    1. razdelek: Uvod
    n-terice realnih števil kot točke in kot krajevni vektorji.
    Operacije s krajevnimi vektorji po geometrijsko in po algebraično.
    Geometrijski vektor (=usmerjeno daljico) lahko z vzporednim premikom pretvorimo v krajevni vektor. Ta krajevni vektor je enak razliki krajevih vektorjev robnih točk.
    
    2. razdelek: Linearne kombinacije
    Linearne kombinacije in linearne ogrinjače, definicije in primeri.
    Definicija vektorskega podprostora (množica, ki vsebuje vse linearne kombinacije vsakega para svojih elementov).
    Prvi primer: Linearne ogrinjače. Drugi primer: Množice rešitev homogenih sistemov linearnih enačb.
    Omenimo: vsak vektorski podprostor je tako linearna ogrinjača neke množice vektorjev, kot tudi množica rešitev nekega homogenega sistema linearnih enačb.
    Na primeru ponovimo reševanje homogenih sistemov in opazimo, da je množica rešitev res linearna ogrinjača.
    Definicija linearno neodvisne množice in baze. Obstoj in enoličnost razvoja vektorja po bazi. Standardna baza.
    Ideje za vaje: Reševanje sistemov linearnih enačb z metodo zaporednega izločanja spremenljivk in z Gaussovo metodo:
    Primeri: Urejanje kemijskih enačb s pomočjo reševanja homogenih sistemov. Razvoj vektorja po bazi. Preverjanje ali je dana množica vektorjev res baza.
    
    
  • (26. 2. 2010)
    3. razdelek: Afine kombinacije
    Definicija afine kombinacije. Prvi primer: Točka, ki deli dano daljico v danem razmerju. Drugi primer: Središče množice točk.
    Opomba: Na drugem primeru opazimo, da se da vsaka afina kombinacija konstruirati z zaporedno uporabo afinih kombininacij dveh vektorjev.
    Definicija afine ogrinjače. Primeri: premica skozi dve točki, ravnina skozi tri točke. Parametrična enačba premice in ravnine.
    Definicija afine podmnožice (množica, ki vsebuje vse afine kombinacije vsakega para svojih elementov).
    Prvi primer: afine ogrinjače. Drugi primer: množice rešitev sistemov linearnih enačb.
    Omenimo: vsaka afina podmnožica je tako afina ogrinjača neke množice vektorjev kot tudi množica rešitev nekega sistema enačb.
    Primer: Pretvorba parametrične enačbe premice (in ravnine) v normalno enačbo s pomočjo eliminacije parametrov.
    Primer: Reševanje sistema linearnih enačb z metodo izločanja spremenljivk. Opazimo, da je rešitev res afina ogrinjača.
    Ideje za vaje: Pokaži, da je vsota vektorja in vektorskega podprostora afina podmnožica, npr. v+Lin{p₁,...,p_k}= Aff{v, v+p₁,...,v+p_k}.
    Razstavi vsako afino podmnožico na vsoto vektorja in vektorskega podprostora, npr. Aff{v₁, v₂,...,v_m}=v₁+Lin{v₂-v₁,..., v_m-v₁}.
    
    
  • (4. 3. 2010)
    4. razdelek: Skalarni in vektorski produkt.
    Definicija in geometrijski pomen norme.
    Definicija in geometrijski pomen skalarnega produkta.
    Definicija in geometrijski pomen vektorskega produkta.
    Ploščina in orientacija paralelograma, 2x2 determinante, vnanji produkt.
    Volumen in orientacija paralelepipeda, mešani produkt, 3x3 determinante, Sarussovo pravilo.
    
    5. razdelek: Pravokotne projekcije točk.
    Projekcija točke na parametrično podano premico. Oddaljenost točke od premice. Zrcaljenje točke čez premico.
    
    
  • (5. 3. 2010)
    (Nadaljevanje 5. razdelka)
    Projekcija točke na parametrično podano ravnino. Projekcija točke na parametrično podano afino množico. Reševanje predoločenih sistemov z metodo najmanjših kvadratov.
    Normalna enačba ravnine v R³. Projekcija točke na normalno podano ravnino. Oddaljenost točke od ravnine. Zrcaljenje točke čez ravnino.
    Projekcija na premico podano kot presek ravnin. Projekcija na afino množico podano s sistemom linearnih enačb.
    
    6.razdelek: Regresijska premica in posplošitve.
    Uvod. Lagrangeov interpolacijski polinom.
    Regresijska premica (= premica, ki se najbolje prilega danim točkam.)
    Ideje za vaje: Posplošitve regresijske premice, npr. parabola, ki se najbolje prilega danim točkam.
    
    
  • (11. 3. 2010) 2. poglavje: Matrike in determinante
    
    1. razdelek Operacije z matrikami
    Definicija matrike velikosti m × n. Elementi, vrstice, stolpci matrike.
    1 × 1 matrike kot skalarji. 1 × n in n × 1 matrike kot vektorji v Rⁿ
    Seštevanje matrik in množenje matrike s skalarjem je definirano po komponentah. Osnovne lastnosti.
    Množenje matrik - motivacija: Dana je tabela porabe surovin po izdelkih in tabele proizvodnje izdelkov po mesecih. Iščemo tabelo porabe surovin po mesecih.
    Množenje matrik - definicija : (i,j)-ti element produkta AB je skalarni produkt i-te vrstice A in j-tega stolpca B.
    Množenje matrik - osnovne lastnosti: Je asociativno. S primerom pokažemo, da ni komutativno.
    Identična matrika in ničelna matrika. Prva je nevtralni element za množenje, druga pa za seštevanje.
    Inverz matrike: definicija, enoličnost. Primer neničelne matrike, ki nima inverza.
    Transponirana matrika: definicija in osnovne lastnosti. Transponiranje vsote in produkta.
    
    2. razdelek: Matrični zapis linearnega sistema.
    Ponovimo skalarni zapis in oba vektorska zapisa (s stolpčnimi in z vrstičnimi vektorji) linearnega zapisa.
    Matrični zapis linearnega zapisa
    Matrični zapis splošne rešitve linearnega sistema
    Reševanje kvadratnega sistema z inverzno matriko. Izpeljava formule in preizkus.
    
    
  • (12. 3. 2010) (nadaljevanje 2. razdelka)
    Matrični zapis projekcije točke na parametrično podano afino množico
    Matrični zapis projekcije točke na afino množico podano s sistemom enačb.
    
    3. razdelek: Determinante.
    Rekurzivna definicija determinante kvadratne matrike (z razvojem po prvi vrstici).
    Primer: izračunamo determinanto 2 × 2 in in 3 × 3 matrike.
    Zahtevnos računanja n × n determinante. Težave z velikimi matrikami.
    Elementarne transformacije vrstic in njihov vpliv na determinanto.
    Determinante gornje trikotnih matrik.
    Primer: Gaussova metoda računanja determinant.
    Omenimo formuli za determinanto produkta in determinanto transponirane matrike
    
    4.razdelek: Uporaba determinant.
    Izpeljava Cramerovega pravila za 2 × 2 sisteme
    Formulacija Cramerovega pravila za 3 × 3 sisteme
    Omenimo formulo za inverz 2 × 2 matrike in napravimo preizkus.
    Zapišemo formulo za inverz 3 × 3 matrike.
    
    
  • (18. 3. 2010) (Nadaljevanje 4. razdelka)
    Skiciramo dokaz osnovnega izreka o obrnljivih matrikah, ki pravi, da so za vsako kvadratno matriko A ekvivalentne trditve:
    1. A je obrnljiva (t.j. obstaja tak B, da velja AB=BA=I)
    2. A ima desni inverz (t.j. obstaja tak B, da velja AB=I)
    3. det A ≠ 0
    4. stolpci A so linearno neodvisni (t.j. za vsak vektor v, ki zadošča Av=0, velja v=0)
    
    5. razdelek: Lastne vrednosti in lastni vektorji.
    Definicija lastne vrednosti matrike. Definicija lastnega vektorja matrike, ki pripada lastni vrednosti.
    Primeri lastnih vrednosti in lastnih vektorjev. Opazimo, da jih je težko uganiti.
    S pomočjo osnovnega izreka o obrnljivih matrikah pokažemo, da so lastne vrednosti matrike A ravno rešitve enačbe det(A-λ I)=0.
    Lastne vektorje iščemo z nastavkom v=[x₁ ... x_n]. Iz (A-λ I)v=0 dobimo homogen sistem linearnih enačb za x₁,...,x_n.
    Opazimo, da je neničeln večkratnik lastnega vektorja spet lasten vektor.
    Primer: Izračunamo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike ((1,3),(2,2))
    
    6.razdelek Diagonalizacija matrik.
    Naj bodo λ₁,...,λ_n lastne vrednosti matrike A in v₁,...,v_n njihovi lastni vektorji. Označimo z D matriko, ki ima po diagonali λ₁,...,λ_n, drugod pa same ničle. Označimo s P matriko, katere stolpci so v₁,...,v_n. Krajši račun pokaže, da je AP=PD. Če je matrika P obrnljiva, potem odtod sledi, da je A=PDP^-1. Tej formuli pravimo diagonalizacija matrike A.
    Primer: Diagomaliziramo matriko ((1,3),(2,2)).
    Vprašamo se, kdaj je matrika P obrnljiva. Po osnovnem izreku o obrnljivih matrikah je to natanko tedaj, ko so lastni vektorji v₁,...,v_n linearno neodvisni.
    Primer: matrika ((0,1),(0,0)) nima dveh neodvisnih lastnih vektorjev, zato je ne moremo diagonalizirati.
    Izrek: Če so lastne vrednosti λ₁,...,λ_n matrike A paroma različne, potem so lastni vektorji v₁,...,v_n linearno neodvisni, torej matriko A lahko diagonaliziramo.
    
  • (19. 3. 2010) (nadaljevanje 6.razdelka)
    Primeri uporabe diagonalizacije:
    1. Potenciranje matrike Aⁿ=(PDP^-1)ⁿ=A=PDⁿP^-1
       Primer: Rešimo sistem diferenčnih enačb x_n+1=x_n+3y_n, y_n+1=2x_n+2y_n, x₀=1, y₀=0.
       
    2. Eksponentno funkcija matrike e^A definiramo s pomočjo Taylorjeve vrste za e^x.
       Izpeljemo: e^A=e^PDP-1=Pe^DP^-1. Povemo, kako izračunamo e^D.
       Omenimo homogene sisteme diferencialnih enačb y'(t)=Ay(t) in formulo za rešitev y(t)=e^At c.
    3. Definicija simetrične matrike (A=A^T). Posebnosti pri diagonalizaciji simetričnih matrik:
       (a) lastne vrednosti so vedno realne.
       (b) lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, so pravokotni.
       Posledica: če vzamemo P=[v₁/||v₁||,...,v_n/||v_n||], potem velja A=PDP^-1=PDP^T.
       Primer: Narišemo x²+6 xy+y²=1. Najprej diagonaliziramo

       1 3 3 1

       =

       1/√2 1/√2 -1/√2 1/√2

       -2 0 0 4

       1/√2 1/√2 -1/√2 1/√2

       -1

       =

       1/√2 1/√2 -1/√2 1/√2

       -2 0 0 4

       1/√2 1/√2 -1/√2 1/√2

       T

       Nato narišemo hiperbolo -2(x')²+4(y')²=1 v koordinatnem sistemu x'y', ki ga določata normirana lastna vektorja (se pravi stolpca matrike P).
    Dodatna literatura za 5. in 6.razdelek:
    • Eigenvalues and Eigenvectors 1
    • Diagonalization
    • Symmetric matrices
    • Conic Sections
    • Eigenvalues and Eigenvectors 2
    
    
  • (25. 3. 2010) II. del Funkcije iz R^m v Rⁿ
    
    Definicijsko območje in predpis.
    Pregled funkcij za m=1,2,3 in n=1,2,3.
    Fizikalni smisel vektorskih funkcij, funkcij več spremenljivk (=skalarnih polj) in vektorskih polj.
    
    1. poglavje Vektorske funkcije (= funkcije iz R v Rⁿ, n=2,3)
    
    1. razdelek Risanje vektorskih funkcij
    Definicija grafa in definicija tira.
    Primer 1: Graf in tir funkcije t → (2t-1,t+2).
    Primer 2: Graf in tir funkcije t → (cos t,sin t).
    Kako iz grafa dobimo tir in kako iz tira dobimo graf.
    
    2. razdelek Limite in odvodi vektorskih funkcij.
    Ponovimo definicijo limit navadnih funkcij. Definiramo limito vektorske funkcije.
    Povemo, da lahko limito vektorske funkcije računamo po komponentah (brez dokaza).
    Definiramo, kdaj je vektorska funkcija zvezna v tocki in da lahko zveznost preverimo po komponentah.
    Ponovimo definicijo odvoda navadne funkcije. Definiramo odvod vektorske funkcije.
    Pokažemo, da lahko odvod vektorske funkcije izračunamo po komponentah.
    Geometrijska uporaba odvoda: Enačba tangente na tir vektorske funkcije.
    Primer: Tangenta na tir t → (cos t,sin t) v točki (√3/2,1/2).
    Metoda za približno risanje tirov: izberemo nekaj kotov in izračunamo dotikališča tangent katerih nakloni se ujemajo s temi koti. Nato ta dotikališča povežemo v krivuljo.
    Primer: Skiciramo tir vektorske funkcije t → (3t/(1+t³),3t²/(1+t³)) s pomočjo gornje metode.
    
    
  • (26. 3. 2010) 3. razdelek Dolžine in ploščine
    Fizikalni pomen vektorske funkcije r(t)=(f(t),g(t)), t ε [α,β]: Opisuje gibanje delca med trenutkoma α in β. r(t) je lega delca v trenutku t.
    Fizikalni pomen odvoda vektorske funkcije: v(t) = r'(t) je vektorska hitrost delca v trenutku t, (kaže v smeri gibanja delca, dolžina pa je enaka običajni hitrosti delca.)
    Iz formule v=||r'||=ds/dt izpeljemo s = ∫ds = ∫_α^β v dt = ∫_α^β ||r'|| dt. To je formula za dolžino tira.
    Primer: Izračunamo dolžino tira vektorske funkcije t → (t - sin t, cos t), t ε [0,2π].
    Kako ugotovimo, kdaj je tir vektorske funkcije sklenjen? r(α) = r(β).
    Izpeljemo formulo za ploščino lika, ki ga obdaja sklenjena krivulja: P =(1/2) ∫_α^β[f(t)g'(t)-g(t)f'(t)] dt.
    Primer: Izračunamo ploščino elipse t → (a cos t, b sin t), t ε [0,2π].
    
    2. poglavje Funkcije več spremenljivk (= funkcije iz R^m v R, m=2,3)
    
    1. razdelek Risanje funkcij dveh spremenljivk
    Definicija grafa funkcije (x,y) → f(x,y), x ε D
    Prva metoda risanja grafa. izberemo nekaj točk (x_i,y_i) in točke (x_i,y_i,f(x_i,y_i)) povežeš s ploskvijo. Problem: Rabiš zelo veliko točk:
    Druga metoda risanja grafa: Za "vsak" c narišemo v ravnini x=c graf funkcije z= f(c,y) in za "vsak" d narišemo v ravnini y=d graf funkcije z=f(x,d). To so grafi funkcij ene spremenljivke, torej krivulje. Na koncu te krivulje povežemo s ploskvijo.
    Tretja metoda risanja grafa: Za "vsak" c narišemo nivojnico f ^-1(c):={(x,y) ε D | f(x,y)=c}. (Dobimo nivojski diagram - v xy ravnini). Nato vsako nivojnico f ^-1(c) dvignemo na višino c dobljene prostorske krivulje povežemo v ploskev.
    Primeri: z = &radic(1-x²-y²), z = &radic(x²+y²)
    
    
  • (1. 4. 2010) 2. razdelek Parcialni odvodi
    

    Definicija parcialnih odvodov:
    (∂f/∂x)(x,y) = lim_{h → 0} (f(x+h,y)-f(x,y))/h
    (∂f/∂y)(x,y) = lim_{h → 0} (f(x,y+h)-f(x,y))/h
    Primer: f(x,y)=2xy+y². Izračunano parcialna odvoda po definiciji in tako, da eno spremenljivko smatramo za konstanto.

    Geometrijska interpretacija parcialnih odvodov:
    (∂f/∂x)(x₀,y₀) je smerni koeficient tangente na krivuljo z = f(x,y₀) (v ravnini y = y₀) in
    (∂f/∂y)(x₀,y₀) je smerni koeficient tangente na krivuljo z = f(x₀,y) (v ravnini x = x₀).

    Odtod izpeljemo enačbo tangentne ravnine na z=f(x,y) v točki (x₀,y₀):
    z - z₀ = (∂f/∂x)(x₀,y₀)(x - x₀) + (∂f/∂y)(x₀,y₀)(y - y₀), kjer z₀ = f(x₀,y₀)
    Ideja izpeljave: Ker gre tangentna ravnina skozi točko (x₀,y₀,z₀), jo lahko iščemo z nastavkom z - z₀ = A(x - x₀)+ B(y - y₀).
    Ko vstavimo x = x₀, moramo dobiti tangento na krivuljo z = f(x₀,y) (v ravnini x = x₀), se pravi, B = (∂f/∂y)(x₀,y₀).
    Ko pa vstavimo y = y₀, moramo dobiti tangento na krivuljo z = f(x,y₀) (v ravnini y = y₀), se pravi A = (∂f/∂x)(x₀,y₀).
    Primer: Izračunamo enačbo tangentne ravnine na graf f(x,y)=2xy+y² v točki (2,1).

    Enačba tangente na krivuljo f(x,y)=c v točki (x₀,y₀) je (∂f/∂x)(x₀,y₀)(x - x₀) + (∂f/∂y)(x₀,y₀)(y - y₀)=0.
    Ideja izpeljave: Najprej opazimo, da je c=f(x₀,y₀)=z₀. Ker je krivulja f(x,y)=c projekcija preseka ploskve z=f(x,y) in ravnine z=c,
    je tudi iskana tangenta na f(x,y)=c projekcija preseka tangentne ravnine na z=f(x,y) in ravnine z=c.
    Primer: Izračunamo tangento na krivuljo x²+y²=1 v točki (√3/2,1/2)
    Definiramo gradient: (grad f)(x,y) = ( (∂f/∂x)(x,y) , (∂f/∂y)(x,y) ) in zapišemo enačbo tangente na f(x,y)=c v r₀ = (x₀,y₀) v normalni obliki <(grad f)(r₀), r - r₀ > = 0.

    3. razdelek Lokalni ekstremi funkcij dveh spremenljivk

    Ponovimo definicije lokalnih ekstremov za funkcije ene spremenljivke.
    Definiramo lokalne ekstreme (= lokalne minimume in lokalne maksimume) za funkcije dveh spremenljivk.
    Izrek : Če velja (i) (x₀,y₀) je lokalni minimum funkcije f(x,y), (ii) (x₀,y₀) je nerobna točka D(f) in (iii) obstajata parcialna odvoda (∂f/∂x)(x₀,y₀) in (∂f/∂y)(x₀,y₀),
    potem velja (∂f/∂x)(x₀,y₀) = 0 in (∂f/∂y)(x₀,y₀) = 0.
    Ideja dokaza: Če je (x₀,y₀) lokalni minimum funkcije f(x,y), potem je x₀ lokalni minimum funkcije f(x,y₀), y₀ pa lokalni minimum funkcije f(x₀,y). Nato uporabimo potrebni pogoj za funkcije ene spremenljivke.
    Posledica: Kandidatke za lokalni ekstrem funkcije f(x,y) so:

    • robne točke D(f),
    • točke D(f) v katerih (∂f/∂x)(x₀,y₀) ali (∂f/∂y)(x₀,y₀) ne obstaja,
    • nerobne točke D(f) v katerih je (∂f/∂x)(x₀,y₀) = 0 in (∂f/∂y)(x₀,y₀) = 0.

  • (2. 4. 2010) (Nadaljevanje 3. razdelka)
    Primer: f(x,y) = 1+x³+y³-3xy. Določimo kandidatke za lokalni ekstrem.
    
    Definicija drugih parcialnih odvodov ∂²f/∂x², ∂²f/∂y² in ∂²f/∂y∂x, ∂²f/∂x∂y.
    Omenimo, da je ∂²f/∂y∂x = ∂²f/∂x∂y, če le funkcija f(x,y) ni preveč grda.
    Zadostni pogoj za lokalni minimum funkcije z = f(x,y₀) v x=x₀ je (∂²f/∂x²)(x₀,y₀) > 0.
    Zadostni pogoj za lokalni minimum funkcije z = f(x₀,y) v y=y₀ je (∂²f/∂y²)(x₀,y₀) > 0.
    Primer: Če je f(x,y) = x²+y²+3xy in (x₀,y₀)=(0,0), potem je (∂²f/∂x²)(x₀,y₀) > 0 in (∂²f/∂y²)(x₀,y₀) > 0, vendar (x₀,y₀) ni lokalni minimum, saj je f(x₀,y₀) = 0, medtem ko je f(x,-x) < 0 za vsak neničeln x. (Preveri!)
    Izrek: Če je (i) (x₀,y₀) nerobna točka D(f) in
    (ii) (∂f/∂x)(x₀,y₀) = 0, (∂f/∂y)(x₀,y₀) = 0 in

    (iii) det

    (∂2f/∂x2)(x0,y0) (∂2f/∂x∂y)(x0,y0) (∂2f/∂y∂x)(x0,y0) (∂2f/∂y2)(x0,y0)

    > 0,

    potem je točka (x₀,y₀) lokalni ekstrem funkcije f(x,y).
    Dodatki k izreku: (a) Če je det < 0, potem (x₀,y₀) ni lokalni ekstrem, v primer det = 0 pa včasih je včesih ni.
    (b) Kadar je det > 0, imamo dve možnosti: če je (∂²f/∂x²)(x₀,y₀) > 0, potem je (x₀,y₀) lokalni minimum, sicer pa je lokalni maximum.
    Primer: Za funkcijo f(x,y) = 1+x³+y³-3xy ugotovimo, katere kandidatke so lokalni ekstremi in katere niso.
    
    4. razdelek Vezani ekstremi
    
    Naj bo C ravninska krivulja, rekli ji bomo tudi vez. Za dano funkcijo f(x,y) nas zanima v kateri točki krivulje C zavzame največjo, oziroma najmanjšo vrednost. Taki točki pravimo vezani ekstrem funkcije f(x,y) na krivulji C. Za iskanje vezanih ekstemov imamo tri metode:
    • Če je krivulja C podana eksplicitno z enačbo y=φ(x), x ε [a,b], potem moramo najprej poiskati ekstreme funkcije ene spremenljivke f(x,φ(x)), x ε [a,b]. Nato jih vstavimo v (x,φ(x)).
      Primer: Določi vezani minimum funkcije (x-2)²+(y-1)² na premici y=x.
    • Če je krivulja C podana parametrično z enačbo x=u(t), y=v(t), t ε [α,β], potem moramo najprej poiskati ekstreme funkcije ene spremenljivke f(u(t),v(t)), t ε [α,β]. Nato jih vstavimo v (u(t),v(t)).
      Primer: Poišči vezane ekstreme funkcije f(x,y) = x²-y² na krožnici x = cos t, y = sin t, t ε [0,2π].
    • Če je krivulja C podana implicitno z enačbo g(x,y)=c in če je (x₀,y₀) vezani ekstrem funkcije f(x,y) na krivulji C, potem se izkaže, da je (grad f)(x₀,y₀) kolinearen z (grad g)(x₀,y₀).
      Kandidate za vezani ekstrem so torej rešitve naslednjega sistema treh nelinearnih enačb s tremi neznankami: (∂f/∂x)(x₀,y₀) = λ(∂g/∂x)(x₀,y₀), (∂f/∂y)(x₀,y₀) = λ(∂g/∂y)(x₀,y₀) in g(x₀,y₀)=c.
      Primer: Poišči vezane ekstreme funkcije f(x,y) = x²-y² na krožnici x²-y² = 1.
    
    
  • (8. 4. 2010) Nadomestne vaje
    
    
  • (9. 4. 2010) 5. razdelek Zveznost in limita
    
    Ideja limite: Pravimo, da je limita funkcije f(x,y) v točki (x₀,y₀) enaka L (in pišemo lim_{(x,y) →(x0,y0)}f(x,y)=L), če f(x,y) približuje L, ko se (x,y) približuje (x₀,y₀) vzdolž katerekoli krivulje.
    Opomba: Ni dovolj, da se (x,y) približuje (x₀,y₀) vzdolž katerekoli premice. (Primer: Vzemimo (x₀,y₀)=(0,0) in f(x,y)=1, če y=x², sicer pa f(x,y)=0. Potem se f(x,y) približuje 0, ko se (x,y) približuje (0,0) vzdolž katerekoli premice, vendar se f(x,y) ne približuje 0, ko se f(x,y) približuje (0,0) vzdolž krivulje y=x². Torej lim_{(x,y) →(0,0)}f(x,y) ne obstaja.)
    Uradna definicija: lim_{(x,y) →(x0,y0)}f(x,y)=L natanko tedaj, ko za vsak ε>0 obstaja tak δ>0, da za vsak (x,y) iz D(f), ki zadošča 0<||(x,y)-(x₀,y₀)||<δ, velja |f(x,y)-L|<ε.
    
    Definicija: Pravimo, da je funkcija f(x,y) zvezna v točki (x₀,y₀), če je definirana v tej točki in če je njena limita v tej točki enaka f(x₀,y₀).
    Definicija: Pravimo, da je funkcija zvezna, če je zvezna v vsaki točki iz D(f).
    Primer: Vsaka elementarna funkcija dveh spremenljivk je zvezna. Elementarne funkcije so tiste, ki se dajo dobiti z (morda večkratno) uporabo naslednjih treh pravil:
    • Funkciji f(x,y)=x in f(x,y)=y sta elementarni funkciji.
    • Če sta f(x,y) in g(x,y) elementarni funkciji, potem so tudi funkcije f(x,y)+g(x,y),f(x+y)-f(x,y), f(x,y) g(x,y) in f(x,y)/g(x,y) elementarne.
    • Če je f(x,y) elementarna funkcija in če g(x) ε {konstante, potence, koreni, e^x, ln x, sin x, cos x, tg x, arcsin x, arccos x, arctg x}, potem je tudi funkcija g(f(x,y)) elementarna.
    
    Pravimo, da je ravninska množica omejena, če je vsebovana v kakem krogu. Pravimo, da je ravninska množica zaprta, če vsebuje svoj rob.
    Izrek o obstoju globalnih ekstremov: Če je funkcija f zvezna, njeno definicijsko območje D(f) pa zaprta in omejena množica, potem obstaja taka točka v D(f), v kateri f(x,y) zavzame največjo vrednost.
    Primer: f(x,y)=√(1-x²-y²) je zvezna in D(f) je zaprta omejena množica. Opazimo, da zavzame globalni maksimum v točki (0,0), globalni minimum pa v vsaki toćki na enotski krožnici.
    Recept za določanje globalnih ekstremov funkcije f(x,y):
    1. Najprej poišči tiste rešitve sistema (∂f/∂x)(x₀,x₀)=0, (∂f/∂x)(x₀,y₀), ki ležijo v D(f).
    2. Nato poiščemo vezane ekstreme funkcije f(x,y) pri pogoju, da (x,y) leži na robu D(f).
    3. V vsaki točki iz 1. in 2. izračunamo vrednost funkcije f(x,y) in ugotovimo, katera od teh vrednosti je največja oziroma najmanjša.
    
    Vemo, da je vsaka odvedljiva funkcija ene spremenljivke zvezna.
    Izkaže se, da parcialno odvedljiva funkcija dveh spremenljivk ni nujno zvezna
    Primer: funkcija f(x,y)=2xy/(x²+y²) če (x,y) ni (0,0), sicer pa f(x,y)=0.
    
    6. razdelek Posredno odvajanje
    
    Spomnimo se, da je odvod funkcije u(x)=f(g(x)) enak u'(x)=f'(g(x))g'(x).
    Izrek: Če je u(t)=f(g(t),h(t)), potem je u'(t)=(∂f/∂x)(g(t),h(t))g'(t)+(∂f/∂y)(g(t),h(t))h'(t), če sta le (∂f/∂x) in (∂f/∂y) zvezni funkciji.
    V dokazu dvakrat uporabimo Lagrangeov izrek. (Ponovi, kaj je to!!!)
    Posledice formule za posredno odvajanje:
    1. Lahko zračunamo parcialna odvoda funkcije u(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)).
    2. Smerni odvod funkcije f(x,y) v točki (x₀,y₀) v smeri (h,k) je definiran kot u'(0), kjer je u(t)=f(x₀+th,y₀+tk).
       Pokažemo, da je u'(0)=(∂f/∂x)(x₀,y₀)h+ (∂f/∂y)(x₀,y₀)k=<(grad f)(x₀,y₀),(h,k)>.
       Odtod sledi, da (grad f)(x₀,y₀) kaže v smeri največjega naraščanja funkcije f(x,y) v točki (x₀,y₀).
    3. Ponovimo Taylorjevo vrsto za funkcije ene spremenljivke: u(t)=u(0)+u'(0)t+u''(0)t²/2+višji odvodi.
       Vstavimo najprej u(t)=f(x₀+th,y₀+tk) in izračunamo vse odvode. Na koncu vstavimo še t=1 in dobimo
       f(x₀+h,y₀+k)=f(x₀,y₀)+(∂f/∂x)(x₀,y₀)h+ (∂f/∂y)(x₀,y₀)k+(∂²f/∂x²)(x₀,y₀)h²/2 +(∂²f/∂x∂y)(x₀,y₀)hk +(∂²f/∂y²)(x₀,y₀) k²/2+višji odvodi.
       Omenimo vlogo Taylorjeve vrste pri izpeljavi zadostnega pogoja za lokalni ekstrem in pri klasifikaciji lokalnih ekstremov.
    4. Implicitno odvajanje-prihodnjič.
    
    
  • (15. 4. 2010) (nadaljevanje 6. razdelka)
    S pomočjo posrednega odvajanja še enkrat izpeljemo enačbo tangente na krivuljo f(x,y)=c v točki (x₀, y₀).
    Primer: Skiciramo krivuljo f(x,y)=0, kjer f(x,y)=x²+xy+y²-3.
    1. korak Izračunaj dotikališča tangent z naklonskimi koti k=0,∞,1,-1. (Se pravi, reši sistem -(∂f/∂x)(x,y)/(∂f/∂y)(x,y)=k, f(x,y)=0, )
    2. korak Nariši tangente iz 1. koraka in njihova dotikališča. Nato jih poveži s krivuljo.
    
    7. razdelek Dvakratni integrali
    
    Problem: Radi bi izračunali volumen med grafom funkcije f(x,y) in njegovo projekcijo na xy ravnino?
    Opomba: Volumen nad ravnino z=0 štejemo s +, volumen pod z=0 pa s -.
    Ločimo več primerov, glede na obliko D(f):
    1. D(f) je pravokotnik [a,b] × [c,d].
       Izračunamo najprej presek z ravnino x = const, dobimo A(x) = ∫_c^d f(x,y) dy.
       Potem je V= ∫_a^b A(x) dx = ∫_a^b (∫_c^d f(x,y) dy) dx .
       Lahko bi tudi najprej izračunali presek z ravnino y = const, dobili bi B(y) = ∫_a^b f(x,y) dx.
       Potem je V= ∫_c^d B(y) dy = ∫_c^d (∫_a^b f(x,y) dx) dy .
       Če je f(x,y) zvezna funkcija, potem se izkaže, da v obeh primerih dobimo isto.
       Primer: f(x,y)=2xy+y²,D[f] = [0,1] × [0,2]. Izračunamo dvakratni integral na oba načina in opazimo, da pride isto.
    2. D(f) je elementarno območje po x, se pravi D(f)={(x,y) | a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}.
       Potem je A(x) = ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy (in še vedno V= ∫_a^b A(x) dx).
       Primer: f(x,y)=xy², D(f)={(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ x}
    3. D(f) je elementarno območje po y, se pravi D(f)={(x,y) | c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}.
       Potem je B(y) = ∫_γ(y)^δ(y) f(x,y) dx (in še vedno V= ∫_c^d B(y) dy).
       Primer: f(x,y)=xy², D(f)={(x,y) | 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ √ y}. Opazimo, da pride isto kot pri prejšnji točki.
    
    3. poglavje Vektorska polja.
    
    1. razdelek Risanje vektorskih polj.
    
    Vektorsko polje podamo s predpisom F(x,y))=(f(x,y),g(x,y)) in definicijskim območjem D(F).
    Kadar definicijsko območje ni podano, vzamemo D_max(F)=D_max(f)∩D_max(g).
    Na voljo imamo tri načine risanja:
    1. Narišemo polje smernic. (V vsaki točki (x,y) iz D_max(F) narišemo vektor F(x,y).)
    2. Narišemo tokovnice. (Povežemo smernice v krivulje.)
    3. Narišemo slike koordinatnih krivulj x=c in y=d. (Dobimo krivulje (x,y)=(f(c,t),g(c,t)) in (x,y)=(g(
    Primer: Razložim vse tri metode na primeru F=(-y,x).
    
    
  • (16. 4. 2010) Nadomestne vaje
    
    
  • (22. 4. 2010) (nadaljevanje 1. razdelka)
    Razložim metodo koordinatnih krivulj še enkrat na primeru F=(2xy,x²-y²).
    
    2. razdelek Krivuljni integrali
    
    Fonovimo, kako izračunamo delo konstantne sile v eno in dvorazsežnem primeru.
    Opazimo, da je delo odvisno tudi od smeri gibanja. Če zamenjamo smer gibanja, se delu spremeni predznak.
    Kaj pa če sila ni konstantna in pot ni ravna? Potem napravimo takole:
    1. Pot zamenjamo z lomljeno črto, ki gre skozi točke r_i, i=0,1,...,n, na krivulji (prva je na začetku, zadnja pa na koncu krivulje).
    2. Privzamemo, da je sila na delu poti med r_i in r_i+1 konstantna in enaka F(r_i).
    3. Delo na delu poti r_i in r_i+1 je torej približno enako skalarnemu produktu F(r_i)(r_i+1-r_i).
    4. Delo vzdolž celotne poti je potem približno enako Σ_i=1ⁿ F(r_i)(r_i+1-r_i).
    5. Ko limitiramo n proti +∞, dobimo točno vrednost za delo.
    To toćno vrednost označimo z ∫_C F(r) dr in ji pravimo krivuljni integral F vzdolž C.
    Pozor, predno začnemo računati, moramo povedati, kaj je začetek oz. konec krivulje, ker to vpliva na predznak rezultata.
    
    Če je F(r) = (f(x,y),g(x,y)) in če je krivulja C podana s parametrično enačbo x= x(t) in y = y(t), kjer t pripada [α,β],
    potem velja ∫_C F(r) dr = ∫_α^β ( f(x(t),y(t) x'(t) + g(x(t),y(t)) y'(t) ) dt
    Primer: Izračunamo krivuljni integral polja (-y,x) vzdolž pozitivno orientirane enotske krožnice.
    Če je F(r) = (f(x,y),g(x,y)), potem (zaradi gornje formule) namesto ∫_C F(r) dr pišemo tudi ∫_C f(x,y) dx + g(x,y) dy.
    
    3. razdelek Gradientna polja
    
    Vektorsko polje F je gradientno, če obstaja tako skalarno polje V, da velja F = grad V.
    Torej je vektorsko polje (f,g) gradientno, če velja f = ∂V/∂x in g = ∂V/∂y za neko funkcijo dveh spremenljivk V.
    Primer: vektorsko polje (y,x) je gradientno, ker velja (y,x)=grad xy
    Primer: vektorsko polje (-y,x) ni gradientno, saj bi iz -y = ∂V/∂x in x = ∂V/∂y sledilo -1 = ∂(-y)/∂y = ∂/∂y (∂V/∂x) = ∂/∂x ( ∂V/∂y) = ∂x/∂x = 1, kar je protislovje.
    Spotoma smo opazili, da za gradientno polje (f,g) velja ∂f/∂y = ∂g/∂x.
    Izkaže se, da velja tudi obrat. Recimo, da velja ∂f/∂y = ∂g/∂x. Radi bi konstruirali tak V, da velja f = ∂V/∂x in g = ∂V/∂y .
    Če lomljenka med (0,0), (0,y) in (x,y) leži v D(f) ∩ D(g), potem lahko vzamemo V = ∫₀^x f dx + ∫₀^y g(0,y) dy.
    Izpeljava: Iz f = ∂V/∂x sledi V = ∫₀^x f dx + C(y). Če obe strani odvajamo po y dobimo, ∂V/∂y = ∫₀^x ∂f/∂y dx + C'(y) . Če upoštevamo ∂f/∂y = ∂g/∂x in g = ∂V/∂y, dobimo
    g(x,y) = ∂V/∂y = ∫₀^x ∂g/∂x dx + C'(y) = g(x,y)- g(0,y) + C'(y), torej je C'(y) = g(0,y). Od tod sledi C(y) = ∫₀^y g(0,y) dy, se pravi V = ∫₀^x f dx + C(y) = ∫₀^x f dx + ∫₀^y g(0,y) dy.
    
    Prednost gradientnih polj pred negradientnimi je, da je zelo preprosto računati njihove krivuljne integrale.
    Iz F = (f,g) = grad V, namreč sledi, da je ∫_C F(r) dr = ∫_C f(x,y) dx + g(x,y) dy = ∫_C f(x,y) dx + g(x,y) dy. = ∫_C (∂V/∂x)(x,y) dx + (∂V/∂y)(x,y) dy =
    ∫_α^β( ∂V/∂x)(g(t),h(t))g'(t)+(∂V/∂y)(g(t),h(t))h'(t) ) dt = = ∫_α^β (d/dt)V(g(t),h(t)) dt = V(g(β),h(β)) - V(g(α),h(α)).
    Torej je krivuljni integral ∫_C F(r) dr odvisen samo od začetne in končne točke krivulje C, nič pa od poteka krivulje med začetno in končno krivuljo.
    
    4. razdelek Greenova formula
    
    
  • (23. 4. 2010) Nadomestne vaje
    
    
  • (6. 5. 2010) III. del Diferencialne enačbe
    
    Najprej razložimo razliko med številsko enačbo, ki sprašuje po neznanem številu, in funkcijsko enačbo, ki sprašuje po neznani funkciji.
    Primer: x²+y²=1 sprašuje po taki funkciji y=y(x), da velja x²+y(x)²=1 za vsak x iz D(y).
    Definicija: Diferencialna enačba je taka funkcijska enačba v kateri poleg neznane funkcije nastopajo tudi njeni odvodi.
    Definicija: Najvišji stopnji odvoda neznane funkcije pravimo red diferencialne enačbe.
    Najsplošnejša oblika diferencialne enačbe reda n je F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾) = 0, kjer je F znana funkcija n+2 spremenljivk, y pa neznana funkcija ene spremenljivke.
    Včasih lahko odtod izrazimo y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y',...,y^(n-1)). Pravimo, da smo diferencialno enačbo prevedli na standardno obliko.
    Primer: y' = f(x) je diferencialna enačba prvega reda. Njena rešitev je nedoločeni integral funkcije f(x).
    Definicija: Rešitev diferencialne enačbe F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾) = 0 je taka funkcija ene spremenljivke y = y(x), da velja F(x,y(x),y'(x),...,y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 za vsak x iz D(y).
    Definicija: Splošna rešitev diferencialne enačbe F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾) = 0 je taka funkcija n+1 spremenljivk y = y(x,C₁,...,C_n), da velja
    F(x,y(x,C₁,...,C_n),(∂y/∂x)(x,C₁,...,C_n),..., (∂⁽ⁿ⁾y/∂x⁽ⁿ⁾)(x,C₁,...,C_n)) = 0 za vsak (x,C₁,...,C_n) iz D(y).
    Torej imajo splošne rešitve diferencialnih enačb prvega reda še eno neznano konstanto, splošne rešitve diferencialnih enačb drugega reda pa dve neznani konstanti.
    Primer: Splošna rešitev diferencialne enačbe 1. reda y' = x² je y = (1/3)x³+C (ena neznana konstanta).
    Primer: Splošna rešitev diferencialne enačbe 2. reda y'' = x je y = (1/6)x³+Cx+D (dve neznani konstanti).
    Opomba: x = xy'+(y')² ima splošno rešitev y=Cx+C², ima pa tudi rešitev y = -x²/4, ki ni poseben primer splošne rešitve. Taki rešitvi pravimo singularna rešitev
    Pogosto iščemo tako rešitev diferencialne enačbe reda n, ki zadošča še n dodatnim pogojem oblike y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y₁, ... , y^(n-1)(x₀)=y_n-1, kjer so y₀, y₁, ..., y_n-1 znana števila. Tem dodatnim pogojem pravimo začetni pogoji. Rešitev, ki zadoča začetnim pogojem dobimo tako, da najprej poiščemo splošno rešitev naše diferencialne enačbe in jo vstavimo v začetne pogoje. Dobimo n enačb za n neznanih konstant. Rešimo in vstavimo dobljene vrednosti za konstante v splošno rešitev.
    
    1. poglavje Diferencialne enačbe prvega reda
    
    1. razdelek Geometrijski pomen in približno reševanje
    
    Omejimo se na diferencialne enačbe oblike y' = f(x,y), kjer je f dana funkcija dveh spremenljivk, y pa neznana funkcija ene spremenljivke.
    Glavna ideja je, da znamo tangento na rešitev y = y(x) z dotikališčem v (x₀,y₀) narisati tudi če rešitve sploh ne poznemo. Enačba tangente je namreč y = y₀ + y'(x₀) (x - x₀) = y₀ + f(x₀,y₀) (x - x₀).
    Na tej ideji slonita dve metodi za približno reševanje diferencialnih enačb: metoda smernic in Eulerjeva metoda.
    
    Oglejmo si najprej metodo smernic:
    (1) Najprej narišemo D(f).
    (2) Skozi "vsako" točki (x,y) iz D(f) narišemo kratko črtico z naklonskim kotom arctg f(x,y). Dobimo polje smernic.
    (3) Nato skiciramo krivulje krivulje, ki imajo te smernice za svoje tangente - to so iskane rešitve.
    Drugi korak je bolje narediti tako, da najprej narišemo nivojnice f(x,y)=c in jih na gosto opremimo s smernicami z naklonskim kotom arctg c.
    
    Oglejmo si še Eulerjevo metodo:
    Začetni podatki so funkcija f(x,y), števili x₀,y₀ in število h
    Iščemo (približek za) rešitev, ki zadošča začetnemu pogoju y((x₀)=y₀.
    Rezultat je tako zaporedje točk (x₀,y₀), (x₁,y₁), ... , (x_n,y_n), da je lomljena črta skozi njih približek za iskano rešitev.
    (1) Preberi x₀ in y₀ in f in h.
    (2) Naj bo x₁ = x₀+h in y₁=y₀+f(x₀,y₀)h (= približek za y(x₁) ).
    (3) Naj bo x₂ = x₁+h in y₂=y₁+f(x₁,y₁)h (= približek za y(x₂) ).
    (4) Naj bo x₃ = x₂+h in y₃=y₂+f(x₂,y₂)h (= približek za y(x₃) ).
    in tako dalje dokler točka (x_n,y_n) ne pade izven D(f) oziroma dokler se ne naveličamo.
    Primer: uporabimo Eulerjevo metodo za diferencialno enačbo y' = y in začetni pogoj y(0) = 1. Iščemo približek za y(x).
    Vzamemo x₀=0, y₀= 1, f(x,y)=y in h=x/n, kjer je n neko naravno število.
    Po n korakih Eulerjeve metode dobimo zaporedje točk (0,1), (h, 1+h), (2h, (1+h)²), ... , (nh, (1+h)ⁿ)=(x,(1+(x/n))ⁿ) =približek za (x,y(x)).
    Ko limitiramo n proti neskončno, dobimo točno rešitev: y(x) = lim_{n -> ∞}(1+(x/n))ⁿ=e^x. Ta rešitev tudi zadošča pogoju y(0)=1.
    
    S pomočjo Eulerjeve metode lahko dokažemo tale izrek:
    Eksistenčni izrek: Če je f(x,y) zvezna funkcija in točka (x₀,y₀) leži v notranjosti D(f), potem obstaja taka rešitev diferencialne enačbe y'=f(x,y), ki zadošča pogoju y(x₀)=y₀.
    Dodatek: Če je tudi funkcija (∂f/∂y)(x,y) zvezna, potem je taka rešitev enolična.
    
    
  • (7. 5. 2010) 2. razdelek Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami
    
    Definicija: Diferencialni enačbi oblike y' = g(x)h(y) pravimo dif. enačba z ločljivimi spremenljivkami.
    Recept: Zamenjaš y' z dy/dx in daš vse x-e na eno, y-e pa na drugo stran enačbe. Dobiš dy/h(y) = g(x)dx.
    Nato obe strani integriraš in dobiš reštev oblike H(y)=G(x)+C. Včasih se da oddtod izraziti y z x in C.
    Primer: Poišči splošno rešitev dif. enačbe y'=2xy². Poišči še kako singularno rešitev.
    Primer: Ohlajanje skodelice čaja.
    Primer: Prosti pad ob prisotnosti upora zraka.
    Primer: Zakon naravne rasti. (Razmnoževanje zajcev na neskončnem travniku.)
    Primer: Logistična krivulja. (Razmnoževanje zajcev na končnem travniku.)
    Opomba: Veliko primerov je tudi v kemijski kinetiki. (Glej Wikipedia - Rate equation.)
    Opomba: Tokovnice vektorskega polja (f(x,y),g(x,y)) dobimo tako, da rešimo dif. enačbo dy/dx=g(x,y)/f(x,y).
    Primer: Določi tokovnice vektorskega polja (y,x).
    Definicija: Diferencialni enačbi oblike y' = f(y/x) pravimo homogena diferencialna enačba.
    Recept: Rešitev iščemo z nastavkom y=zx, kjer je z neznana funkcija spremenljivke x. Dobimo (dz/dx)x+z = f(z). Ko ločimo spremenljivke dobimo dz/(f(z)-z) = dx/x.
    Po integraciji dobimo rešitev oblike F(z) = ln x + C. Sedaj upoštevamo še, da je z = y/x in dobimo za splošno rešitev F(y/x) = ln x + C.
    Primer: Kako poiščemo tokovnice vektorskega polja oblike (ax+by,cx+dy)?
    
    
  • (13. 5. 2010) Nadomestne vaje
    
    
  • (14. 5. 2010) 3. razdelek Linearne diferencialne enačbe 1. reda
    
    Definicija: to so diferencialne enačbe oblike y'=p(x)y+q(x)
    Struktura rešitev: y=y_p+y_h, kjer je y_h splošna rešitev y'=p(x)y in y_p posebna rešitev y'=p(x)y+q(x)
    Računanje y_h z ločevanjem spremenljivk.
    Računanje y_p z variacijo konstant.
    Primer: mešanje raztopin
    Definicija Bernoullijeve enačbe: y'=p(x)y+q(x)yⁿ
    Recept: Deliš z yⁿ in uvedeš novo neznano funkcijo z=y^1-n. Dobiš linearno diferencialno enačbo za funkcijo z.
    Primer: Logistična enačba.
    
    
  • (20. 5. 2010) 1. poglavje Diferencialne enačbe drugega reda
    
    1. razdelek Uvod in približno reševanje
    
    Povemo kako rešimo začetni problem y''=f(x,y,y'), y(x₀)=y₀, y'(x₀)=z₀ s posplošitvijo Eulerjeve metode. Zamenjamo y'(x) z (y(x+h)-y(x))/h in y''(x) z (y(x+2h)-2y(x+h)+y(x))/h².
    
    2. razdelek Ločljive spremenljivke
    
    Naučimo se reševati diferencialne enačbe oblike y''=g(y')h(y). Primeri:
    • y'' = 2 (y')³.
    • (y')² = y y'', y(0)=1, y'(0)=1.
    • y''=-y', y'(0)=0, y'(0)=1.
    
    
  • (21. 5. 2010) 3. razdelek Linearne diferencialne enačbe 2. reda
    
    Definicija: to so enačbe oblike y''=p(x)y'+q(x)y+r(x).
    Povemo, da v splošnem niso analitično rešljive.
    Izpeljemo, da v primeru, ko sta p(x) in q(x) konstantni, ta enačba opisuje vsiljeno nihanje.
    Struktura rešitev enačbe y''=py'+qy+r(x): y=y_p+y_h, kjer je y_h splošna rešitev y''=py'+qy in y_p posebna rešitev y''=py'+qy+r(x).
    Struktura y_h: y_h = C₁ y₁ + C₂ y₂
    Računanje y₁ in y₂ z nastavkom. Več primerov.
    Računanje y_p z variacijo konstant.
    
  
  
  

  Skripta:

  J. Cimprič, Matematika 1, verzija 27. 5. 2007, pdf format, velikost 1.6M.
  Da datoteko lahko odprete, potrebujete Acrobat Reader, ki ga dobite tukaj .
  Predloge in pripombe pošljite na moj e-mail naslov cimpric@fmf.uni-lj.si z opombo Skripta.